Autor Tema: Plano tangente a un punto.

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30 Octubre, 2020, 09:26 pm
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Juan_nueve

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Buenas tardes. Tengo el siguiente problema:

Probar que el plano tangente al punto \( p=(x_0,y_0,z_0) \) de una superficie de nivel \( f(x,y,z)=0 \) correspondiente al valor regular \( 0 \) de una función \( f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R} \)  de clase \( C^{\infty} \) está dado por la ecuación
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial x}(p)x+\frac{\partial f}{\partial y}(p)y+\frac{\partial f}{\partial z}(p)z=0,
\end{equation}
mientras la ecuación que es afín al plano tangente,  paralela al plano tangente y pasa por \( p \), está dada por
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial x}(p)(x-x_0)+ \frac{\partial f}{\partial y}(p)(y-y_0)+\frac{\partial f}{\partial z}(p)(z-z_0)=0.
\end{equation}

Se me ha ocurrido lo siguiente:

Como el vector gradiente a \( p \) es un vector ortogonal a la superficie de nivel  \( f(x,y)=k \) por ejemplo en el punto  \( p \). Para definir un plano necesitamos un punto del plano  \( w \) y un vector normal. ¿Es suficiente calcular el producto interno entre el vector normal y  \( w-p \)? Me podrían ayudar por favor.

30 Octubre, 2020, 09:56 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Antes de nada tienes que tener claro como te han definido plano tangente; ese ha de ser el punto de partida.

 Si por ejemplo, es aquel generado por los vectores tangentes de las curvas paramétricas de una parametrización, lo que debes de probar es que tales vectores cumplen la ecuación del plano que te sugieren como candidato a tangente.

 Para ello considera la composición de la ecuación implícita de la superficie con su parametrización y deriva.

Saludos.