[Pablofernan]

Hola, tengo la siguiente integral:

 \( \displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{(1-cos(x))^2}{x^2} dx \)

Me han dicho en clase que es como la de \( \displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{sin(x)^2}{x^2} dx \) que sí sé hacerla por teorema de residuos sustituyendo el sin por exponenciales complejas, pero el caso es que con el  \( (1-cos(x))^2 \) se me cancelan todas las aportaciones al derivar en el numerador (hay un polo de orden 2 en el denominador) y me da 0.

Alguna idea? 

[mg]

Hola,

Supongo que pedirán la convergencia de la integral.

La integral \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{\infty}f(x)dx \), siendo \( f(x)=\dfrac{(1-cos(x))^2}{x^2} \). Ahora bien, el segundo sumando es una integral de rieman ordinaria, por tanto convergente. En cuanto a la primera, se trata de una integral impropia de segunda especie, aplicando el criterio de comparación por paso al límite a \( f(x) \) con la función \( g(x)=x^{1/2} \), resulta que el límite es 0, por tanto como \( \displaystyle\int_{0}^{1}g \) es convergente \( \displaystyle\int_{0}^{1}f \) también lo es, por tanto \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}f(x)dx \) es convergente por ser suma de integrales convergentes.

corregido

[Ricardo Boza]

Ojo, \( \displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x^2}dx=+\infty \).

Edit: Aunque la integral es convergente porque \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=0 \), aplicando L'Hôpital. 

Ahora lo que queda es calcular una primitiva, que probablemente sea lo que piden además de la convergencia.

Edit 2: Vale, perdona, creía que considerabas \( \dfrac{1}{x^2} \). Fallo mío.

[Masacroso]

Hola, tengo la siguiente integral:

 \( \int_{0}^{\infty} \frac{(1-cos(x))^2}{x^2} dx \)

Me han dicho en clase que es como la de \( \int_{0}^{\infty} \frac{sin(x)^2}{x^2} dx \) que sí sé hacerla por teorema de residuos sustituyendo el sin por exponenciales complejas, pero el caso es que con el  \( (1-cos(x))^2 \) se me cancelan todas las aportaciones al derivar en el numerador (hay un polo de orden 2 en el denominador) y me da 0.

Alguna idea? 

A mí me sale que \( (1-\cos x)^2=\frac12 \operatorname{Re}[z^2-4z+3] \), para \( z:= e^{ix} \). Mira a ver si con eso consigues algo.

[Abdulai]

Observa que:  \( (1-\cos x)^2 = 1-2\cos x + \cos^2x = 2\underbrace{(1-\cos x)}_{2\sin^2(x/2)} - \underbrace{(1-\cos^2x)}_{\sin^2x}= 4 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2x \)

quedando dos integrales de la forma que conocías.

[Fernando Revilla]

Sin pasar a variable compleja y usando la igualdad proporcionada por Abdulai: \[ (1-\cos x)^2 = 4 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2x \], se puede aplicar la integración por partes a \[ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin ^2x}{x^2}dx \] con \[ u=\sin^2 x \], \[ dv=\frac{dx}{x^2} \] y aparece la integral de Dirichlet \[ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}{2} \]. Mismo procedimiento para \[ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin ^2(x/2)}{x^2}dx \].

[Ricardo Boza]

Sin pasar a variable compleja y usando la igualdad proporcionada por Abdulai: \[ (1-\cos x)^2 = 4 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2x \], se puede aplicar la integración por partes a \[ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin ^2x}{x^2}dx \] con \[ u=\sin^2 x \], \[ dv=\frac{dx}{x^2} \] y aparece la integral de Dirichlet \[ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}{2} \]. Mismo procedimiento para \[ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin ^2(x/2)}{x^2}dx \].

Spoiler

De hecho, \( \displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{(1-\cos x)^2}{x^2}dx=\int_0^{+\infty}\dfrac{\sen t}{t}dt=\dfrac{\pi}{2} \)

[cerrar]

[mg]

Ojo, \( \displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x^2}dx=+\infty \).

Edit: Aunque la integral es convergente porque \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=0 \), aplicando L'Hôpital. 

Ahora lo que queda es calcular una primitiva, que probablemente sea lo que piden además de la convergencia.

Edit 2: Vale, perdona, creía que considerabas \( \dfrac{1}{x^2} \). Fallo mío.

Si, es cierto, estaba pensando una cosa y escribi otra. Gracias por tu comentario. Lo voy a corregir porque no me gusta tener las cosas publicadas malamente. Si me equivocara, no dudeis en comentarmelo.

[Pablofernan]

Efectivamente, con la relación de Abdulai consigo llegar al resultado que esperaba, muchas gracias