Autor Tema: Cambio de integración integrales dobles

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29 Octubre, 2020, 04:53 pm
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Quema

  • $$\pi \pi \pi \pi \pi \pi$$
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\( \displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{2}}^{\sqrt[ ]{2}}dy\int_{y}^{\sqrt[ ]{4-y^2}}f(x,y)dx \) Cómo puedo hacer el cambio de integración sin tener que graficar los límites de integración, un método práctico?

Se que \( -\sqrt[ ]{2}\leq{}y\leq{}\sqrt[ ]{2} \) y \( y\leq{}x\leq{}\sqrt[ ]{4-y^2} \) Luego pensé que

 \( -\sqrt[ ]{2}\leq{}x\leq{}\sqrt[ ]{2} \) y \( \sqrt[ ]{4-x^2}\leq{}y\leq{}x \) pero creo que está mal. No quiero el método gráfico sino uno con álgebra.

29 Octubre, 2020, 06:58 pm
Respuesta #1

ciberalfil

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¿Que cambio quieres aplicar? ¿A polares, otra parametrización? Hay muchos posibles. El método gráfico es el más seguro, cualquier otro te llevará a meter la pata muchas veces.

Salu2

29 Octubre, 2020, 07:03 pm
Respuesta #2

Masacroso

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Se que \( -\sqrt[ ]{2}\leq{}y\leq{}\sqrt[ ]{2} \) y \( y\leq{}x\leq{}\sqrt[ ]{4-y^2} \)

está mal en algún lado, no veo dónde
De las desigualdades originales tenemos que

\( \displaystyle{
y\leqslant x \,\land\, -\sqrt{2}\leqslant y\leqslant \sqrt{2}\iff -\sqrt{2}\leqslant y\leqslant \min\{\sqrt{2},x\}
} \)

Además debe cumplirse que \( x\leqslant \sqrt{4-y^2} \), que es equivalente a \( |y|\leqslant \sqrt{4-x^2} \). Es decir que

\( \displaystyle{
-\sqrt{2}\leqslant y\leqslant \min\{\sqrt{2},x\}\,\land\, -\sqrt{4-x^2}\leqslant y\leqslant \sqrt{4-x^2}\iff
\max\{-\sqrt{2},-\sqrt{4-x^2}\}\leqslant y\leqslant  \min\{\sqrt{2},x, \sqrt{4-x^2}\}
} \)

Finalmente observa que, de las desigualdades originales, tenemos que \( -\sqrt{2}\leqslant x \) para todo valor de \( y \), y como máximo \( x=2 \) (cuando \( y=0 \)), lo que nos permite simplificar el resultado anterior a

\( \displaystyle{
\max\{-\sqrt{2},-\sqrt{4-x^2}\}\leqslant y\leqslant \min\{\sqrt{2},x\}, \quad  \text{ para }-\sqrt{2}\leqslant x\leqslant 2
} \)
[cerrar]

Confirmo que lo del spoiler está MAL, lo he dibujado en wolfram con la función RegionPlot y salen dos regiones diferentes, la segunda tiene un trozo que no está en la primera. Un error que hay en lo anterior es que la desigualdad \( |y|\leqslant \sqrt{4-x^2} \) se cumple cuando \( x\geqslant 0 \), pero puede haber más errores, lo cierto es que no es la mejor manera de hacer el cambio de orden, como dice ciberalfil cuando es posible es mejor el método geométrico.

29 Octubre, 2020, 10:10 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

\( \displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{2}}^{\sqrt[ ]{2}}dy\int_{y}^{\sqrt[ ]{4-y^2}}f(x,y)dx \) Cómo puedo hacer el cambio de integración sin tener que graficar los límites de integración, un método práctico?

Se que \( -\sqrt[ ]{2}\leq{}y\leq{}\sqrt[ ]{2} \) y \( y\leq{}x\leq{}\sqrt[ ]{4-y^2} \) Luego pensé que

 \( -\sqrt[ ]{2}\leq{}x\leq{}\sqrt[ ]{2} \) y \( \sqrt[ ]{4-x^2}\leq{}y\leq{}x \) pero creo que está mal. No quiero el método gráfico sino uno con álgebra.

De las desigualdades dadas es fácil ver que \( x \) oscila en \( -\sqrt{2}\leq x\leq 2 \), ya que la cota inferior \( y \) toma el valor mínimo \( -\sqrt{2} \) y la cota superior \( \sqrt{4-y^2} \) toma el máximo \( 2 \) para \( y=0 \).

Ahora hay que ver las cotas de \( y \), fijado un \( x \).

Si \( x \) es negativo \( x\leq{}\sqrt[ ]{4-y^2} \) se cumple siempre y tenemos  \( -\sqrt[ ]{2}\leq{}y\leq{}min(\sqrt[ ]{2},x)=x \).

Es decir: \( -\sqrt{2}\leq x\leq 0,\qquad [tex]-\sqrt[ ]{2}\leq{}y\leq x \)

Si \( x \) es no negativo \( x\leq{}\sqrt[ ]{4-y^2} \) equivale a \( y^2\leq 4-x^2  \) es decir \( -\sqrt{4-x^2}\leq y\leq \sqrt{4-y^2} \). Tenemos entonces:

\( max(-\sqrt[ ]{2},-\sqrt{4-x^2})\leq{}y\leq{}min(x,\sqrt{4-x^2}) \)

Vemos que \( \sqrt{4-x^2}=\sqrt{2} \) si \( x=\sqrt{2} \).

\( max(-\sqrt[ ]{2},-\sqrt{4-x^2})=\begin{cases}{-\sqrt{2}}&\text{si}& 0\leq x\leq \sqrt{2}\\-\sqrt{4-x^2} & \text{si}& \sqrt{2}\leq x\leq 2\end{cases} \)

Por otra parte \( x=\sqrt{4-x^2} \) si \( x=\sqrt{2} \); deducimos que:

\( min(x,\sqrt{4-x^2})=\begin{cases}x&\text{si}& 0\leq x\leq \sqrt{2}\\\sqrt{4-x^2} & \text{si}& \sqrt{2}\leq x\leq 2\end{cases} \)

En resumen:

- Si  \( -\sqrt{2}\leq x\leq 0, \) entonces \( -\sqrt[ ]{2}\leq{}y\leq x \).
- Si  \( 0\leq x\leq \sqrt{2}, \) entonces \( -\sqrt[ ]{2}\leq{}y\leq x \).
- Si  \( \sqrt{2}\leq x\leq 2, \) entonces \( -\sqrt{4-x^2} \leq{}y\leq \sqrt{4-x^2}  \).

O equivalentemente:

- Si  \( -\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2} \) entonces \( -\sqrt[ ]{2}\leq{}y\leq x \).
- Si  \( \sqrt{2}\leq x\leq 2 \) entonces \( -\sqrt{4-x^2} \leq{}y\leq \sqrt{4-x^2}  \).

Saludos.

P.D. Pero si se puede mejor dibujar...