Autor Tema: Valor esperado de la variable aleatoria X evaluada en una función

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29 Octubre, 2020, 02:44 am
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JoanL

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Hola a todos.
Tengo el siguiente ejercicio de valor esperado (esperanza):
\( \textrm{Sea $X\sim{}B(n,p)$. Hallar $E(sen^2(\frac{\pi}{2}X))$} \)
Entendí el ejercicio como \( \textrm{$E(g(X))$, donde $g(x)=sen^2(\frac{\pi}{2}x)$} \), pero después de eso no sé como proceder.
Les agradecería mucho si me pudieran ayudar.
Saludos.

29 Octubre, 2020, 03:05 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos.
Tengo el siguiente ejercicio de valor esperado (esperanza):
\( \textrm{Sea $X\sim{}B(n,p)$. Hallar $E(sen^2(\frac{\pi}{2}X))$} \)
Entendí el ejercicio como \( \textrm{$E(g(X))$, donde $g(x)=sen^2(\frac{\pi}{2}x)$} \), pero después de eso no sé como proceder.
Les agradecería mucho si me pudieran ayudar.
Saludos.

Lo que necesitas para hacer ese cálculo es un teorema el cual no es trivial así que deberías tenerlo en los apuntes. En cualquier caso mira aquí:

https://es.qaz.wiki/wiki/Law_of_the_unconscious_statistician

29 Octubre, 2020, 03:30 am
Respuesta #2

JoanL

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Hola Masacroso.
Gracias por responder.
En este caso no me dan los \( x_i \), ¿será que esto es correcto?
\( \textrm{$E(g(X))=\sum_{k=1}^\infty{g(x_k)P(X=x_k)}=\sum_{k=1}^\infty{sen^2(\frac{\pi}{2}x_k){n \choose k}p^kq^{n-k}}$ donde $q=1-p$} \)
En caso de que sea correcto, ¿Cómo procedo a partir de ahí?

29 Octubre, 2020, 10:40 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Lo que necesitas para hacer ese cálculo es un teorema el cual no es trivial así que deberías tenerlo en los apuntes. En cualquier caso mira aquí:

https://es.qaz.wiki/wiki/Law_of_the_unconscious_statistician

No entiendo lo que has querido decir con esto Masacroso. El cálculo que le piden es estándar. Por definición:

\( E\left[sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}X\right)\right]=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\color{red}n-k\color{black}}sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}k\right) \)

Ahora:

\( sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}k\right)=\begin{cases}{1}&\text{si}& k\text{ impar}\\0 & \text{si}&  k\text{ par}\end{cases} \)

Por tanto queda:

\( E\left[sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}X\right)\right]=\displaystyle\sum_{k=0,k\text{ impar}}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\color{red}n-k\color{black}} \)

Ahora ten en cuenta que:

\( (p+q)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^kq^{n-k} \)

\( (-p+q)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}(-p)^kq^{n-k} \)

Restando:

\( (p+q)^n-(-p+q)^n=2\displaystyle\sum_{k=0,k\text{ impar}}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^kq^{n-k} \)

Aplicando esto para \( q=1-p \) queda:

\( E\left[sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}X\right)\right]=\displaystyle\sum_{k=0,k\text{ impar}}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^k=\dfrac{1}{2}(1-(1-2p)^n) \)

Saludos.

CORREGIDO

29 Octubre, 2020, 12:11 pm
Respuesta #4

Masacroso

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Hola

Lo que necesitas para hacer ese cálculo es un teorema el cual no es trivial así que deberías tenerlo en los apuntes. En cualquier caso mira aquí:

https://es.qaz.wiki/wiki/Law_of_the_unconscious_statistician

No entiendo lo que has querido decir con esto Masacroso.

Simplemente quería decir que LOTUS (en el enlace anterior) necesita conocerse con anterioridad para poder ser aplicado, no es un teorema que se suela deducir en mitad de un ejercicio, o al menos no parece ser ésta la intención del ejercicio.

29 Octubre, 2020, 12:29 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Simplemente quería decir que LOTUS (en el enlace anterior) necesita conocerse con anterioridad para poder ser aplicado, no es un teorema que se suela deducir en mitad de un ejercicio, o al menos no parece ser ésta la intención del ejercicio.

Ah. Es curioso porque es la primera vez que lo veo citado con ese nombre. Lo que yo quiero decir que es un Teorema típico y que se explica en seguida (con o sin prueba) cuando uno estudia transformaciones de variables aleatorias.  Es la forma usual de calcular la esperanza de una transformación de una v.a. conocida.

Saludos.

30 Octubre, 2020, 12:19 am
Respuesta #6

JoanL

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Aplicando esto para \( q=1-p \) queda:

\( E\left[sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}X\right)\right]=\displaystyle\sum_{k=0,k\text{ impar}}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^k=\dfrac{1}{2}(1-(1-2p)^n) \)

Hola Luis Fuentes.
Muchas gracias por responder.
Tengo dos inquietudes:
En la parte \( \displaystyle\sum_{k=0,k\text{ impar}}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^k \), en el exponente de \( \textrm{$1-p$} \) ¿no sería \( \textrm{$n-k$} \) en vez de \( \textrm{$k$} \)? y ¿cómo llegaste a \( \textrm{$\dfrac{1}{2}(1-(1-2p)^n)$} \)? Es que no me quedó muy claro.
Saludos.

30 Octubre, 2020, 10:20 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Tengo dos inquietudes:
En la parte \( \displaystyle\sum_{k=0,k\text{ impar}}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^k \), en el exponente de \( \textrm{$1-p$} \) ¿no sería \( \textrm{$n-k$} \) en vez de \( \textrm{$k$} \)?

Si, eso fue una errata. Ya lo he corregido.

Citar
y ¿cómo llegaste a \( \textrm{$\dfrac{1}{2}(1-(1-2p)^n)$} \)? Es que no me quedó muy claro.

¿Entendiste esto?:

Ahora ten en cuenta que:

\( (p+q)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^kq^{n-k} \)

\( (-p+q)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}(-p)^kq^{n-k} \)

Restando:

\( (p+q)^n-(-p+q)^n=2\displaystyle\sum_{k=0,k\text{ impar}}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^kq^{n-k} \)

Si no lo entendiste indica exactamente en qué parte encuentas dificultad.

si lo entendiste, si en la última expresión sustituyes \( q=1-p \), te queda:

\( (p+1-p)^n-(-p+1-p)^n=2\displaystyle\sum_{k=0,k\text{ impar}}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \)

\( (1)^n-(1-2p)^n=2\displaystyle\sum_{k=0,k\text{ impar}}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \)

Saludos.