Autor Tema: Polinomio de Taylor

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29 Octubre, 2020, 12:30 am
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caantamha

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Cordial saludo.

Lo que pasa es que quisiera probar la unicidad del polinomio de Taylor entonces, tengo lo siguiente:

Sea \( f: U\subset{\mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R}}} \), con \( U  \) un abierto y \( f\in{C^k} \). Entonces \( f(x+v) = f(x) + f^{\prime}(x)v + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x)v^{2} +...+\frac{1}{k!}f^{k}(x)v^{k}+ r_{k}(v) \)  donde \( \lim_{v \to {0}}{\frac{r_{k}(v)}{\left |{v}\right |^k}}=0 \)

Para probar la unicidad supongo que existe otro polinomio de la siguiente forma:

Dada \( \phi_i :{\mathbb{R^n}}\times{...}\times{{\mathbb{R^n}}}\rightarrow{{\mathbb{R}}}  \) una función \( i \) -lineal donde denotaremos \( \phi_{i} v^{i} =\phi_ {i}(\underbrace{v,...,v}_{i-veces}) \) tal que si \( f\in{C^k} \)entonces para cada \( i=1,...,k \) es dada una función \( i \)-linear \( \phi_i  \) tal que

\( f(x+v) = f(x) + \phi_{1}(x)v + \phi_{2}v^{2} +...+\phi_{k}(x)v^{k}+ r_{k}(v) \)  donde \( \lim_{v \to {0}}{\frac{r_{k}(v)}{\left |{v}\right |^k}}=0 \).

Entonces debo probar que \( \phi_{i} v^{i}=\frac{1}{i!}f^{i}(x)v^{i} \). Para ello tengo el siguiente resultado: si \( r:U\rightarrow{\mathbb{R}} \)  es una función k veces diferenciable en el origen y \( \lim_{v \to {0}}{\frac{r_{k}(v)}{\left |{v}\right |^k}}=0 \) entonces \( r \) junto con todas sus derivadas parciales de orden \( \leq{k} \)  se anulan en cero.


Mi idea es despejar a \( r_k(v) \) hallar \( r^{\prime}_k(v)h \) con \( h\in{\mathbb{R}^n} \) y luego evaluarla en cero, sin embargo tengo problemas para hallar la derivada direccional en los polinomios, por ejemplo me queda la siguiente expresión \( [{\phi_{2}v^{2}}]^{\prime}h \) pero \( [{\phi_{2}v^{2}}]^{\prime}:{\mathbb{R^n}}\times{{\mathbb{R^n}}} \rightarrow{\mathbb{R}} \) así que no tendría sentido la expresión \( [{\phi_{2}v^{2}}]^{\prime}h \), trate de hacer una composición pero no me salio. La verdad no sé como hallar las derivadas.

Muchas gracias de antemano por la ayuda.


 
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