Considere la función \( 2\pi \) periódica \( f(x)=1 \) si \( 0\le x<\pi, \) \( f(x)=0 \) si \( -\pi\le x<0 \) y la identidad de Parseval para mostrar que \( \displaystyle\sum_{n\ge1}\frac1{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}8. \)
¿Cómo empiezo para resolver esto? 
¿No es trivial de la definición de la identidad de Parseval? La identidad de Parseval nos dice que para una función \( f \) cualquiera en un espacio de Hilbert tenemos que
\( \displaystyle{
\|f\|^2=\sum_{k\in \Gamma} |\langle f, e_k \rangle|^2
} \)
donde \( \{e_n\}_{n\in \Gamma } \) es una base ortonormal de ese espacio y \( \langle a,b \rangle \) el producto interior definido en ese espacio (y \( \|{\cdot} \| \) la norma asociada al mismo).
Asumo que el espacio de Hilbert en este caso es el espacio de funciones \( f:[-\pi,\pi]\to \mathbb{C} \) con \( \|f\|^2:=\int_{-\pi}^\pi|f|^2<\infty \) y producto interior definido por \( \langle f,g \rangle:=\int_{-\pi}^{\pi} fg \). La base ortonormal estándar en este espacio viene dada por las funciones \( \mathrm e_k(t):=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{ik t} \) para \( k\in \mathbb{Z} \), que dan lugar a los llamados coeficientes de Fourier, o que también se pueden calcular utilizando senos y cosenos descomponiendo \( \mathrm e_k \) es su parte real e imaginaria, es decir, otra base ortonormal de este espacio de Hilbert son las funciones
\( \displaystyle{
\mathrm s_k(t):=\frac1{\sqrt{\pi}}\sin (kt),\quad \mathrm c_k(t):=\frac1{\sqrt{\pi}}\cos (kt),\quad k\in \mathbb N\setminus\{0\}\\
\mathrm c_0(t):=\frac1{\sqrt{2\pi}}
} \)
Ahora es cuestión de poner todo lo anterior en orden para demostrar lo que te piden.
