Autor Tema: Sistema de ecuaciones

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28 Octubre, 2020, 12:29 am
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Julio_fmat

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Resolver el sistema

\( x\equiv_3 2, x\equiv_7 4, x\equiv_8 5. \)

Hola, usamos el Teorema chino del resto?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

28 Octubre, 2020, 02:50 am
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola,

\( \begin{cases}x\equiv 2 \mod 3\\
x\equiv 4 \mod 7\\
x\equiv 5 \mod 8\end{cases} \)

\( x=8n+5 \), \( n\in \mathbb{Z} \)

Probando números, el \( 53 \) cumple todas las ecuaciones en congruencias.

La única solución son los números de la forma \( x=53+3\cdot 7\cdot 8\cdot k \),    \( (k\in\mathbb{Z}) \)

Esto es porque \( 3, 7, 8 \) son coprimos.

Pero esta solución es poco elegante porque no sirve para resolver en general y porque no está justificada realmente la unicidad de la solución.

28 Octubre, 2020, 04:30 am
Respuesta #2

ingmarov

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Hola

...
\( \begin{cases}x\equiv 2 \mod 3\\
x\equiv 4 \mod 7\\
x\equiv 5 \mod 8\end{cases} \)

\( x=8n+5 \), \( n\in \mathbb{Z} \)

Probando números, el \( 53 \) cumple todas las ecuaciones en congruencias.

...

Hay una forma de calcular una solución, es así:

1- Sumamos los productos (en parejas) los números 3,7,8 (coprimos).

\[ 3\cdot7 +3\cdot8 + 7\cdot 8 \]

2-Esta suma módulo 3 es congruente con 2, tal como nos pide el problema por lo que no cambiamos esta suma (nos funciona bien para este módulo).

3-Esta suma módulo 7 es congruente con 3, pero necesitamos obtener congruencia con 4. Dado que \[ 3\cdot7 + 7\cdot 8\equiv 0 (mod\; 7) \], debemos buscar un número que al multiplicarlo por \[ 3\cdot8 \] resulte congruente con cuatro módulo 7. Un número es 6 (ó 6+7k). Por lo que modificamos la suma inicial propuesta y nos queda:
\[ 3\cdot7 +3\cdot8\cdot{\color{blue}6} + 7\cdot 8 \]

4-Ahora la nueva suma es congruente con 5 módulo 8, por lo que no necesitamos cambiarla como en el anterior inciso.

Por lo anterior un número que cumple lo pedido es:

\[ x=3\cdot7 +3\cdot8\cdot{\color{blue}6} + 7\cdot 8=\bf 221 \]


Por el teorema chino del resto podemos decir que todas las soluciones son congruentes módulo \[ 3\cdot 7\cdot 8 \]

Por tanto podemos decir que las soluciones del sistema es el conjunto  \[ x=221+3\cdot 7\cdot 8\cdot k\quad, k\in\mathbb{Z} \]

Si calculamos x para k=-1 tenemos  x=53. Que nos permite escribir la solución de la forma en que la ha escrito Bobby.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

28 Octubre, 2020, 10:23 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Resolver el sistema

\( x\equiv_3 2, x\equiv_7 4, x\equiv_8 5. \)

Hola, usamos el Teorema chino del resto?

Si. Aquí tienes un ejemplo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=91049.msg367449#msg367449

Saludos.

28 Octubre, 2020, 01:43 pm
Respuesta #4

feriva

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Hola. Miradme por favor dónde me equivoco, que llevo dos horas y no lo veo.

Spoiler

Una forma muy fácil de entender (pero muy pesada en la práctica, es sumar todo)

\( \dfrac{x-2}{3}+\dfrac{x-4}{7}+\dfrac{x-5}{8}=y
  \)

Entonces cada fracción tiene que dar un entero y la suma tiene que ser un entero; se multiplica en cruz (o se hace con el mcm) se despeja, y tienes una sola ecuación diofántica de una tacada; pero con unos coeficientes muy grandes y, por tanto, resulta más rollo de resolver que de congruencia en congruencia; como con el teorema chino en su versión normal. Pero también se suele poder hacer simplifcaciones para que queden números pequeños.

Sería así, ya despejada la suma de fracciones

\( (3x-12)+(3x-15)+(7x-14)+(7x-35)+(8x-16)+(8x-32)=168y
  \)

Agrupando

\( 36x+124=168y
  \).

O con la variable “x” signada, da igual porque es variable de un entero:

\( 36(-x)+124=168y
  \)

\( 36x+168y=124
  \)

Dividiendo entre 4

\( 9x+42y=31
  \)

...

*Pero al llegar aquí, 31 no es múltiplo de 3... me he equivocado en algo y no hay manera, que no lo veo.

[cerrar]

Saludos.

28 Octubre, 2020, 01:57 pm
Respuesta #5

geómetracat

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El problema está al quitar los denominadores. Debería ser:
\[ 7\cdot 8(x-2)+3\cdot 8(x-4)+3\cdot 7(x-5)=168y \].
Entonces acaba quedando:
\( 101x-313=168y \)
Y ahora sí que \( x=53,y=30 \) es solución y obtienes las mismas soluciones que con el teorema chino del resto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Octubre, 2020, 02:00 pm
Respuesta #6

feriva

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El problema está al quitar los denominadores. Debería ser:
\[ 7\cdot 8(x-2)+3\cdot 8(x-4)+3\cdot 7(x-5)=168y \].
Entonces acaba quedando:
\( 101x-313=168y \)
Y ahora sí que \( x=53,y=30 \) es solución y obtienes las mismas soluciones que con el teorema chino del resto.

Muchísimas gracias, Geómetracat; me acababa de dar cuenta ahora y venía a corregir; perdonadme el despiste (que sólo me pasan muy de vez en cuando :D ).

Saludos.

28 Octubre, 2020, 02:04 pm
Respuesta #7

ciberalfil

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Veamos:

\( \dfrac{x-2}{3}+\dfrac{x-4}{7}+\dfrac{x-5}{8}=y\qquad\Rightarrow{}\qquad 56(x-2)+24(x-4)+21(x-5)=168y \)

y de aquí:

\( 101x-313=168y \)

Vaya se me adelantaron. Pero buena idea ir a por una diofántica.

Salu2

28 Octubre, 2020, 05:03 pm
Respuesta #8

feriva

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Veamos:

\( \dfrac{x-2}{3}+\dfrac{x-4}{7}+\dfrac{x-5}{8}=y\qquad\Rightarrow{}\qquad 56(x-2)+24(x-4)+21(x-5)=168y \)

y de aquí:

\( 101x-313=168y \)

Vaya se me adelantaron. Pero buena idea ir a por una diofántica.

Salu2

Muchas gracias, Ciberalfil.

Me he equivocado por aplicar la recta, y mira que siempre digo que no me gustan las rectas.

...

En realidad lo que ocurre es

\( 1\cdot\dfrac{x-2}{3}+1\cdot\dfrac{x-4}{7}+1\cdot\dfrac{x-5}{8}
  \)

Como \( \dfrac{7}{7}\cdot\dfrac{8}{8}=1;\;\dfrac{3}{3}\cdot\dfrac{8}{8}=1;\;\dfrac{3}{3}\cdot\dfrac{7}{7}=1
  \) sustituyendo

\( \dfrac{7}{7}\cdot\dfrac{8}{8}\cdot\dfrac{x-2}{3}+\dfrac{3}{3}\cdot\dfrac{8}{8}\cdot\dfrac{x-4}{7}+\dfrac{3}{3}\cdot\dfrac{7}{7}\cdot\dfrac{x-5}{8}
  \)

y así tiene sentido y no se equivoca uno.

Saludos.