Autor Tema: Vector de valores ajustados y producto Kronecker

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27 Octubre, 2020, 04:42 am
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JoanL

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
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Hola a todos.
Estoy viendo el producto Kronecker en una aplicación en estadística.
\( \textrm{Sea $y_{ijk}=\mu+\tau_i+\gamma_j+\epsilon_{ijk}$ el modelo de análisis de clasificación  "two ways" sin interacción, donde $i=1,\cdots,a; j=1,\cdots,b; k=1,\cdots,n$ . Hallar una solución mínimo cuadrado para} \)
\( \textrm{$\beta=(\mu,\tau_1,\cdots,\tau_a,\gamma_1,\cdots,\gamma_b)'$ y use este resultado para encontrar el vector de valores ajustados y la suma del error al cuadrado para este modelo.} \)
Lo que se me ocurrió fue lo siguiente:
\( \textrm{Sea $\boldsymbol{y}=(y_{111},\cdots,y_{11n},y_{121},\cdots,y_{1bn},y_{211},\cdots,y_{abn})'$ el vector respuesta. Entonces definimos $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{X\beta}+\epsilon$, donde X=[$1_a \otimes 1_b \otimes 1_n \hspace{1cm}I_a \otimes 1_b \otimes 1_n\hspace{1cm}1_a \otimes I_b \otimes 1_n$]} \)
(Nota: \( \textrm{$1_k$ es un vector de unos, donde $k=a,b,n$} \))
Una solución mínimo cuadrado está dada por
\( \textrm{$\hat{\beta}=\boldsymbol{(X'X)^{-}X'y}$} \) 
Entonces calculamos \( \textrm{$\boldsymbol{X'X}$} \):
    \( \textrm{$\boldsymbol{X'X}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}
        \boldsymbol{1'_a \otimes 1'_b \otimes 1'_n}\\
        \boldsymbol{I_a \otimes 1'_b \otimes 1'_n}\\
        \boldsymbol{1'_a \otimes I_b \otimes 1'n}
    \end{array}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\begin{array}{c}
        \boldsymbol{1_a \otimes 1_b \otimes 1_n \hspace{0.5cm} I_a \otimes 1_b \otimes 1_n \hspace{0.5cm} 1_a \otimes I_b \otimes 1_n}
    \end{array}\end{pmatrix}
    =\begin{pmatrix}\begin{array}{ccc}
        abn & bn\boldsymbol{1'_a} & an\boldsymbol{1'_b}\\
        bn\boldsymbol{1_a} & bn\boldsymbol{I_a} & n\boldsymbol{1_a \otimes 1'_b}\\
        an\boldsymbol{1_b} & n\boldsymbol{1'_a \otimes 1_b} & an\boldsymbol{I_b}
    \end{array}\end{pmatrix}$} \)
Se puede ver que
\( \textrm{$\begin{pmatrix}\begin{array}{ccC}
        \frac{1}{abn} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \\
         \boldsymbol{0} & \frac{1}{bn}(\boldsymbol{I_a}-\frac{1}{a}(\boldsymbol{1_a 1'_a})) & \boldsymbol{0}\\
         \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \frac{1}{an}(\boldsymbol{I_b}-\frac{1}{b}(\boldsymbol{1_b 1'_b}))
    \end{array}\end{pmatrix}$} \)
es una inversa generalizada de \( \textrm{$\boldsymbol{X'X}$} \)
Luego
\( \textrm{$\hat{\beta}=\begin{pmatrix}
     \begin{array}{ccc}
      \frac{1}{abn} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \\
         \boldsymbol{0} & \frac{1}{bn}(\boldsymbol{I_a}-\frac{1}{a}(\boldsymbol{1_a 1'_a})) & \boldsymbol{0}\\
         \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \frac{1}{an}(\boldsymbol{I_b}-\frac{1}{b}(\boldsymbol{1_b 1'_b}))
     \end{array}
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\begin{array}{c}
        \boldsymbol{1'_a \otimes 1'_b \otimes 1'_n}\\
        \boldsymbol{I_a \otimes 1'_b \otimes 1'_n}\\
        \boldsymbol{1'_a \otimes I_b \otimes 1'_n}
    \end{array}\end{pmatrix}\boldsymbol{y}
    =\begin{pmatrix}\begin{array}{c}
        \frac{1}{abn}\boldsymbol{1'_a \otimes 1'_b \otimes 1'_n}\\
        \frac{1}{bn}\boldsymbol{I_a \otimes 1'_b \otimes 1'_n}\\
        \frac{1}{an}\boldsymbol{1'_a \otimes I_b \otimes 1'_n}
    \end{array}\end{pmatrix}\boldsymbol{y}=
    \begin{pmatrix}\begin{array}{c}
        \bar{y}_{\cdot\cdot}\\
        \bar{y}_{1\cdot}-\bar{y}_{\cdot\cdot}\\
        \vdots\\
        \bar{y}_{a\cdot}-\bar{y}_{\cdot\cdot}\\
        \bar{y}_{\cdot 1}-\bar{y}_{\cdot\cdot}\\
        \vdots\\
        \bar{y}_{\cdot b}-\bar{y}_{\cdot\cdot}
    \end{array}\end{pmatrix}$} \)
donde
\( \textrm{$\hat{\mu}=\bar{y}_{\cdot\cdot}=\frac{1}{abn}\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{n}y_{ijk}\hspace{1cm}\bar{y}_{i\cdot}=\frac{1}{bn}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{n}y_{ijk}\hspace{1cm}\bar{y}_{\cdot j}=\frac{1}{an}\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{n}y_{ijk}\hspace{1cm}$} \)
Con base en lo que he realizado tengo dos dudas: 
1) ¿Es correcto mi razonamiento hasta el momento?
2) ¿Cómo calcular el vector de valores ajustados y, más o menos, cómo sería dicho vector?
Les agradecería mucho la ayuda que me pudieran brindar.
Saludos.