Autor Tema: Area de superficie 2

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25 Octubre, 2020, 06:34 pm
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weimar

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Calcular el area de la parte superior de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ situada en el interior de la superficie $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$$
Intente lo siguiente :  usando cartesinas parametrizando $$\phi(x,y)=(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}) \Rightarrow{  \|\phi_{x}\times \phi_{y}\|=\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} }$$ usando los datos y pasando a  polares

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{\cos (2 \theta)}}  \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}drd\theta= 2\pi-4\sqrt{2}$$  pero  la respuesta dice: $$ \pi+4-4\sqrt{2}$$  :-\ :-\ :-\

26 Octubre, 2020, 10:24 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Calcular el area de la parte superior de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ situada en el interior de la superficie $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$$
Intente lo siguiente :  usando cartesinas parametrizando $$\phi(x,y)=(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}) \Rightarrow{  \|\phi_{x}\times \phi_{y}\|=\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} }$$ usando los datos y pasando a  polares

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{\cos (2 \theta)}}  \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}drd\theta= 2\pi-4\sqrt{2}$$  pero  la respuesta dice: $$ \pi+4-4\sqrt{2}$$  :-\ :-\ :-\

Los límites del ángulo están mal. Tiene que cumplirse que:

\( cos(2\theta)\geq 0 \)

Eso ocurre para \( \theta\in (-\pi/4,\pi/4)\cup (3\pi/4,5\pi/4) \).

Saludos.

26 Octubre, 2020, 12:20 pm
Respuesta #2

weimar

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Hola, no entendi porque los angulos estan en ese intervalo. Yo lo veo asi: $$cos (x=2\theta) \geq{0} \Leftrightarrow{ 0 \leq{  2 \theta\leq{ \pi/2}} ,    3\pi/2 \leq{ 2 \theta \leq{2\pi}}} ,     $$ osea

$$\theta \in (0,\pi/4)  \cup{  (3\pi/4,\pi)}$$ donde esta el error  :-\

26 Octubre, 2020, 12:37 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola, no entendi porque los angulos estan en ese intervalo. Yo lo veo asi: $$cos (x=2\theta) \geq{0} \Leftrightarrow{ 0 \leq{  2 \theta\leq{ \pi/2}} ,    3\pi/2 \leq{ 2 \theta \leq{2\pi}}} ,     $$ osea

$$\theta \in (0,\pi/4)  \cup{  (3\pi/4,\pi)}$$ donde esta el error  :-\

Ten en cuenta que si \( \theta\in [0,2\pi) \) entonces \( 2\theta\in [0,4\pi) \).

Por tanto en realidad te queda:

\( \theta\in (0,\pi/4)\cup (3\pi/4,\pi)\color{red}\cup (\pi,5\pi/4)\cup (7\pi/4,2\pi)\color{black}=(0,\pi/4)\cup (3\pi/4,5\pi/4)\cup (7\pi/4,2\pi) \)

Yo preferí tomar \( \theta\in (-\pi,\pi) \) y por tanto \( 2\theta\in (-2\pi,2\pi). \)

Pero la idea es la misma.

Saludos.

26 Octubre, 2020, 07:11 pm
Respuesta #4

weimar

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Es verdad, gracias por la aclaracion.  :aplauso:

26 Octubre, 2020, 10:16 pm
Respuesta #5

delmar

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Hola

Muy cierta la explicación, sobre los intervalos de Luis Fuentes, solamente para complementar, se muestra la curva directriz de la segunda superficie, es una superficie cilíndrica, simétrica respecto a los planos XZ y YZ :



Para el cálculo del área A es conveniente utilizar la simetría y la integral se reduce :

\( A=4\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\sqrt[ ]{cos \ 2 \theta}}\frac{r}{\sqrt[ ]{1-r^2}} \ dr \ d\theta \)



Saludos