Autor Tema: Sucesiones de funciones (producto, no composición)

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25 Octubre, 2020, 01:50 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

Sean \( (f_n) \) y \( (g_n) \) dos sucesiones de funciones acotadas, uniformemente convergentes en un subconjunto \( A\subset \mathbb{R} \). Entonces, la sucesión \( (f_n\cdot g_n) \) es uniformemente convergente en A.

Yo estoy intentando buscar dos sucesiones de funciones tales que ambas sean uniformemente convergentes en un subonjunto \( A \) de \( \mathbb{R} \) y su producto no lo sea. Esto quiere decir que al menos una esas dos sucesiones de funciones es no acotada.

Además, la propiedad de no ser acotada creo que debe venir de considerar una \( (f_n) \) tal que \( \lim_{n\to \infty}\lim_{x\to\infty}f_n(x)=\infty \). Quiero decir que no puede venir de una asíntota vertical que tengan las \( f_n \) a partir de un \( n_0 \), porque esto significaría que en cualquier intervalo que contuviera la abscisa de la asíntota, \( (f_n) \) no sería uniformemente convergente a \( f \).

25 Octubre, 2020, 06:13 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola,

Sean \( (f_n) \) y \( (g_n) \) dos sucesiones de funciones acotadas, uniformemente convergentes en un subconjunto \( A\subset \mathbb{R} \). Entonces, la sucesión \( (f_n\cdot g_n) \) es uniformemente convergente en A.

Yo estoy intentando buscar dos sucesiones de funciones tales que ambas sean uniformemente convergentes en un subonjunto \( A \) de \( \mathbb{R} \) y su producto no lo sea. Esto quiere decir que al menos una esas dos sucesiones de funciones es no acotada.

Además, la propiedad de no ser acotada creo que debe venir de considerar una \( (f_n) \) tal que \( \lim_{n\to \infty}\lim_{x\to\infty}f_n(x)=\infty \). Quiero decir que no puede venir de una asíntota vertical que tengan las \( f_n \) a partir de un \( n_0 \), porque esto significaría que en cualquier intervalo que contuviera la abscisa de la asíntota, \( (f_n) \) no sería uniformemente convergente a \( f \).

Considera \( A=(0,1) \) y \( f_n(x)=\dfrac{1}{n} \) con el límite \( f(x)=0 \); \( g_n(x)=\dfrac{1}{x} \) con el límite \( g(x)=\dfrac{1}{x} \).

Saludos.

25 Octubre, 2020, 07:28 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Gracias,

Negando la definición de convergencia uniforme, se ve que \( \exists \varepsilon>0 \Big{/}\:( \forall n_0)\: \exists n>n_0\: \exists x \in (0,1): \dfrac{1}{\varepsilon n}>x \)

Es fácil ver que dado un \( \varepsilon>0 \), para cualquier \( n \) que escojamos, por grande que sea ese \( n \), siempre va a existir \( x\in (0,1) \) tal que \( x<\dfrac{1}{n\varepsilon} \)