Autor Tema: Problemas de teoría combinatoria

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25 Octubre, 2020, 12:55 am
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AndreinaPaiva

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Saludos, compañeros. Les pido colaboración para que me chequen lo que he hecho y me ayuden en los dos últimos apartados. Estoy viendo una materia que llama Matemática Discreta, pero a pesar de que entiendo las fórmulas y de de donde salen; me cuesta resolver algunos planteamientos donde como que mezclan todo. Y esto de estudiar a distancia no me ayuda de mucho

Muy agradecida con el apoyo que me puedan brindar

Sea X el conjunto de todas las palabras con 10 letras A, 6 letras B, 26 letras C y 16 letras D.    

(a) ¿Cuántas palabras en total hay en \( X \)?

Se trata de permutaciones con elementos repetidos. Se considera que la palabra se forma con la totalidad de las letras mencionadas. En total hay
 
\( (10+6+26+16)!/(10! 6! 26! 16!)=58!/(10! 6! 26! 16!)=1.066196954\cdot 10^{29} \) palabras

(b) ¿En cuántas palabras de \( X \) todas las \( A \) están juntas?

Si consideramos las \( 10 \) letras A como un solo bloque, monolítico, entonces tendríamos 6 letras B, 26 letras C y 16 letras D; y 1 bloque de letras A (que no se pueden separar), por lo tanto tendríamos

\(  (1+6+26+16)!/(1! 6! 26! 16!)=49!/(1! 6! 26! 16!)=1.001229763\cdot 10^{20} \)

 palabras con todas las \( A \) juntas dentro de \( X \)

(c) Considere ahora el conjunto Y de las palabras que pueden formarse poniendo dos palabras (no necesariamente distintas) de X consecutivas ¿Cuántas palabras hay de Y?

Del apartado (a), sabemos que hay \( 1.066196954\cdot 10^{29} \) palabras diferentes candidatas a la primera palabra de \( X \); mientras que la segunda palabra – de las dos consecutivas – puede ser nuevamente una cualquiera de las palabras de \( X \) (ya que ambas pueden o no coincidir). Por lo tanto, por el principio de la multiplicación, en \( Y \) hay \( (1.066196954\cdot 10^{29} )^2=1.136775945\cdot 10^{58} \) palabras

(d) ¿Cuántas palabras de \( Y \) provienen de concatenar dos palabras de \( X \) que empiezan con distinta letra?
AYUDAAA

(e) ¿Cuántas palabras de \( Y \) tienen todas las letras \( D \) juntas?
AYUDAAA

25 Octubre, 2020, 02:09 am
Respuesta #1

delmar

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Hola


Es conveniente que escribas las fórmulas en LATEX, para mayor claridad es una regla del foro.

He revisado la a) y la c) ambas están correctas al menos las expresiones iniciales; pero no he hecho las cuentas.

e) Cada palabra de Y es la reunión de dos palabras de X, cada palabra de X contiene 16 letras D, en consecuencia hay 32 letras D en cada palabra de Y, para que estén todas juntas (las 32), la letra D ha de ser las últimas 16 letras de la primera palabra de X y ha de ser las 16 primeras letras de la segunda palabra de X, en consecuencia ha de haber una sola palabra de Y con las 32 letras D juntas.


Saludos

25 Octubre, 2020, 12:14 pm
Respuesta #2

AndreinaPaiva

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Gracias, por responder.
Pero en tu comentario del apartado (e), no me parece que haya sólo una palabra de Y con las 32 letras D juntas. En efecto, las 16 D de la primera palabra deben ir al final; y las 16 D de la segunda palabra deben ir al inicio.Pero el resto de las letras permuta; por lo cual no es una única palabra la que se puede formar con esas condiciones

25 Octubre, 2020, 12:44 pm
Respuesta #3

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...




d) una palabra
  • que empiece con A  tiene una combinatoria de formada por los grupos de letras 10-1=9 A ,6B ,26C y 16D , las que no empiezan con A en la segunda palabra serán el total calculado en (a) menos las que empiezan con A,  la combinatoria de ambas  es su multiplicación, luego tienes que sumarle la
  • que empiece con B  tiene una combinatoria de 10A ,6-1=5B ,26C y 16D , las que no empiezan con B seran el total menos las que empiezan con B,  luego tienes que sumarle la
  • que empiece con C  tiene una combinatoria de 10A ,6B ,26-1=25C y 16D , las que no empiezan con C seran el total menos las que empiezan con C,  luego tienes que sumarle la
  • que empiece con D  tiene una combinatoria de 10A ,6B ,26C y 16-1=15D , las que no empiezan con D serán el total menos las que empiezan con D
Desconozco si hay un calculo directo con factoriales


e) averigua cual es la combinatoria que te permite formar las X con todas las D al final de la palabra y multiplícala por la combinatoria que te permite formar las \( X \) con todas las D al inicio de la palabra.


si calculas la combinatoria sin las letras D para las \( X \) , luego tienes 42+1 formas de poner todas las D juntas y solo te sirve 1 cuando están al final, para la segunda palabra se repite el calculo, para que estén ubicadas delante.




Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

25 Octubre, 2020, 01:29 pm
Respuesta #4

delmar

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Respecto al punto e estoy de acuerdo con lo que dices, hay un solo tipo de palabra de Y que tiene las D juntas, es el que he descrito. Lo que sugiere Richard R Richard en el primer parrafo es sencillo.

Saludos

25 Octubre, 2020, 05:56 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Para el (d) te puede ser cómodo al total de posibilidades restarle los pares de palabras del conjunto \( X \) que empiezan por la misma letra.

 Es decir si llamas:

 \( x= \)número de palabras de \( X \)
 \( x_a= \)número de palabras de \( X \) que empiezan por \( A \)
 \( x_b= \)número de palabras de \( X \) que empiezan por \( B \)
 \( x_c= \)número de palabras de \( X \) que empiezan por \( C \)
 \( x_d= \)número de palabras de \( X \) que empiezan por \( D \)
 
 lo que te piden es: \( x^2-x_a^2-x_b^2-x_c^2 \).

Saludos.

25 Octubre, 2020, 06:57 pm
Respuesta #6

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...


Si Luis se puede ver haciendo


\( Cmb=x_a(x-x_a)+x_b(x-x_b)+x_c(x-x_c)+x_d(x-x_d) \)


\( Cmb=x(x_a+x_b+x_c+x_d)-x_a^2-x_b^2-x_c^2-x_d^2 \)


pero \( x=x_a+x_b+x_c+x_d \)


luego \( Cmb=x^2-x_a^2-x_b^2-x_c^2-x_d^2 \)


\(
Cmb=\left(\dfrac{58!}{10! 6! 26! 16!}\right)^2-\left(\dfrac{48!}{ 6! 26! 16!}\right)^2-\left(\dfrac{52!}{10! 26! 16!}\right)^2-\left(\dfrac{32!}{10! 6!  16!}\right)^2-\left(\dfrac{42!}{10! 6! 26! }\right)^2
 \)





\( Cmb=\dfrac{\left(58!\right)^2-\left(48!10!\right)^2-\left(52!6!\right)^2-\left(32!16!\right)^2-\left(42!16!\right)^2}{(10! 6! 26! 16!)^2} \)





Saludos  \(\mathbb {R}^3\)