Autor Tema: Conjunto de transformaciones lineales.

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24 Octubre, 2020, 11:54 pm
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S.S

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Hola a todos.

Estoy trabajando en el conjunto de transformaciones lineales \( l(\mathbb{R^{n}}, \mathbb{R}) \), entonces se me pide hallar una base y su dimensión.

Por este hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114452.new;topicseen#new Ya sé que una base son las transformaciones


\(  f_{j}(e_{i})= \begin{cases}{1}&\text{si}& i = j\\0 & \text{si}&  i \neq {j}\end{cases} \).

Mi problema reside en probar que en efecto genera a  \( l(\mathbb{R^{n}}, \mathbb{R}) \).
 He intentado decir: sea \( \{e_i\}_{i=1} ^{n} \) la base canónica para \( \mathbb{R^{n}} \) y  dada una matriz \( T \) en \( l(\mathbb{R^{n}}, \mathbb{R}) \) ,   entonces \( T(x) = \sum_{i=1}^n{x_{i}T(e_{i})} = \sum_{i=j}^n{f_j(x)}T(e_{j}) \). pero... No estoy seguro es si puedo tomar a los \( T(e_{j}) \) como escalares, \( i =  1, 2,...,n \).  (Algo secundario es  que casi no me gusta el cambio de contador  de \( i \) a \( j \))

He intentado justificar esto diciendo que cada transformación queda determinada por las imágenes de los elementos de la base así puedo decir que \( T(e_j)= a_{j}, a_{j} \in \mathbb{R} \) luego esos hacen de escalares en la combinación anterior, pero no estoy seguro.  :-\.

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25 Octubre, 2020, 12:46 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Supongo que en lugar de matriz T se quiere decir transformación lineal \( T:R^n\rightarrow{R} \)  La idea la veo correcta y has empezado bien \( T(x)=\sum_{i=1}^n{x_i \ T(e_i)} \) en ese punto observa \( x_i=f_i(x) \) sustituyendo en la primera expresión y considerando que \( T(e_i) \) es un escalar, se tiene que toda transformación lineal de ese tipo es combinación lineal de las transformaciones lineales \( f_i, \ i=1,2,..n \) y  por ser LI estas son una base del Espacio vectorial del enunciado.

Saludos

25 Octubre, 2020, 12:46 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Mi problema reside en probar que en efecto genera a  \( l(\mathbb{R^{n}}, \mathbb{R}) \).

Demuestra que para todo \( f\in l(\mathbb{R^{n}}, \mathbb{R}) \) se verifica \( f=f(e_1)f_1+\ldots +f(e_n)f_n \). Para ello basta ver que los dos miembros toman los mismos valores al aplicar \( e_i \) para todo \( i=1,\ldots,n \).

Se adelantó delmar.

25 Octubre, 2020, 02:14 am
Respuesta #3

S.S

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Hola. Gracias por la respuesta.

Si,  en lugar de matriz \( T \) es una transformación, Bueno muchas gracias. 

Bueno una pregunta más, si estuviera en el caso del espacio \( l_k(\mathbb{R^{m}}, \mathbb{R^{n}}) \) conjunto de transformaciones \( k- lineales \) y cconsidero la base del hilo que  menciono (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114452.new;topicseen#new), ¿La prueba de que esa base genera es similar? ¿En que cambia? Gracias.

25 Octubre, 2020, 06:31 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Hola. Gracias por la respuesta.

Si,  en lugar de matriz \( T \) es una transformación, Bueno muchas gracias. 

Bueno una pregunta más, si estuviera en el caso del espacio \( l_k(\mathbb{R^{m}}, \mathbb{R^{n}}) \) conjunto de transformaciones \( k- lineales \) y cconsidero la base del hilo que  menciono (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114452.new;topicseen#new), ¿La prueba de que esa base genera es similar? ¿En que cambia? Gracias.

Muy parecidido.

Tendrías que:

\( T(\vec x^1,\vec x^2,\ldots,\vec x^k)=\displaystyle\sum x^1_{i_1}x^2{i_2}\ldots x^k{i_k}T(\vec e_{i_1},\vec e_{i_2},\ldots,\vec e_{i_k}) \)

y cada \( T(\vec e_{i_1},\vec e_{i_2},\ldots,\vec e_{i_k})\in \Bbb R^n \) puede ponerse como combinación lineal de los elementos de la base de \( \Bbb R^n. \)

Saludos.

27 Octubre, 2020, 03:24 am
Respuesta #5

S.S

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Hola Luis. Gracias por la respuesta.

La verdad no he podido con este problema apesar de las recomendaciones de ustedes, pero quiero poderlo entender. Lo voy a desarrollar para el caso \( m= 3 \) y \( n=2 \).  (Algo parecido a lo que se desarrollo en el hilo que he mencionado)

Asi, siendo \( \{e_{i}\}_{i=1}^{3} \) y \( \{e^{\prime}_{i}\}_{i=1}^{2} \) las bases canónicas para \( \mathbb{R^{3}} \) y \( \mathbb{R^{2}} \) respectivamente. Fijando \( 1\leq{i,j,k}\leq{3} \) y \( 1\leq{l}\leq{2} \);  la siguiente es una base para \( l_{2}(\mathbb{R^{m}}, \mathbb{R^{n}}) \):

\( f_{i,j,k; l}(e_{i}^{\prime},e_{j}^{\prime},e_{k}^{\prime} )=\begin{cases}{e_{l}^{\prime}} & \text{si}& i^{\prime}= i, j^{\prime} = j, k^{\prime}= k \\0 & \text{}& \textrm{en otro caso} \end{cases} \)

Dicho esto dada una una transformación \( T \in l_{2}(\mathbb{R^{m}}, \mathbb{R^{n}}) \) se tiene que \( T(x,y,w) = \sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^3{\sum_{k=1}^3{x_{i}y_{j}w_{k}T(e_{i}, e_{j}, e_{k})}}} \).      \( 1 \)

Ahora sea \( T(e_{i}, e_{j}, e_{k}) = v_{ijk}= \alpha_{ijk}e_{1}^{\prime} +\beta_{ijk}e_{2}^{\prime}  \)     \( \star \)

Reemplazando en \( 1 \) se  tiene:

 \( T(x,y,w) = \sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^3{\sum_{k=1}^3{ \alpha_{ijk} x_{i}y_{j}w_{k}e_{1}^{\prime} }}} + \sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^3{\sum_{k=1}^3{\beta_{ijk} x_{i}y_{j}w_{k}e_{2}^{\prime} }}}  \).

Como cada \( f_{i,j,k; l}(x,y,w) =  x_{i}y_{j}w_{k}e_{l}^{\prime} \).           \( 1\leq{i,j,k}\leq{3} \)   y    \( 1\leq{l}\leq{2} \)

Con esto se se tiene lo deseado. ¿Estoy bien? ¿No estoy seguro de si en \( \star \) se deben hacer depender los escalares \( \alpha, \beta \) de los subindices \( j,j,k \)? Gracias.


\(  \)

27 Octubre, 2020, 11:03 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 Está bien lo que haces, salvo algunas erratas con la notación.

La verdad no he podido con este problema apesar de las recomendaciones de ustedes, pero quiero poderlo entender. Lo voy a desarrollar para el caso \( m= 3 \) y \( n=2 \).  (Algo parecido a lo que se desarrollo en el hilo que he mencionado)

Asi, siendo \( \{e_{i}\}_{i=1}^{3} \) y \( \{e^{\prime}_{i}\}_{i=1}^{2} \) las bases canónicas para \( \mathbb{R^{3}} \) y \( \mathbb{R^{2}} \) respectivamente. Fijando \( 1\leq{i,j,k}\leq{3} \) y \( 1\leq{l}\leq{2} \);  la siguiente es una base para \( l_{2}(\mathbb{R^{m}}, \mathbb{R^{n}}) \):

En el desarrollo has usado al revés las bases; como base de \( \mathbb{R^{3}} \) le has puesto "primas" a las "es" y como base de \( \mathbb{R^{2}} \) les has quitado las "primas".

Citar
Dicho esto dada una una transformación \( T \in \color{red}l_{2}\color{black}(\mathbb{R^{m}}, \mathbb{R^{n}}) \) se tiene que \( T(x,y,w) = \sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^3{\sum_{k=1}^3{x_{i}y_{j}w_{k}T(e_{i}, e_{j}, e_{k})}}} \).      \( 1 \)

Tal como lo has escrito sería  \( T \in \color{red}l_{3}\color{black}(\mathbb{R^{m}}, \mathbb{R^{n}}) \), es decir, aplicaciones TRI-lineales.

Saludos.

28 Octubre, 2020, 01:46 am
Respuesta #7

S.S

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Hola, Luis, Gracias. Me ayudaron bastante.  :aplauso: