[weimar]

Calcular \( \int_{0}^{2 \pi} \frac{9}{(2+\cos x)^2}dx \)

Hola, intente por partes, sustitucion, cambio de variables pero no me sale. Cual sera el truco 

Título corregido. De "calcul de integral definida" a "Cálculo de \( \int_{0}^{2 \pi} \frac{9}{(2+\cos x)^2}dx \)".

[Fernando Revilla]

Calcular \( \int_{0}^{2 \pi} \frac{9}{(2+\cos x)^2}dx \)

¿Has intentado el cambio \( \tan \dfrac{x}{2}=t \)? ¿Habéis estudiado integración compleja?

[weimar]

Hola, haber haciendo el cambio  consegui lo siguiente: \( \sin x=\frac{2t}{t^2+1} , \ \ \cos x=\frac{t^2-1}{t^2+1} .  \)  Asi hice la sustitucion y consegui:
 \(  \displaystyle  \int_{0}^{1}\frac{9}{(2+\frac{t^2-1}{t^2+1})^2}  \) solo que en esta parte nose como obtener \( dx \) en funcion de \( dt \)   

[Juan Pablo Sancho]

Tienes :
\( \tan(\dfrac{x}{2}) = t  \) nos queda \( \dfrac{\sec^2(\dfrac{x}{2})}{2} \ dx = dt  \)
Como \( \sec^2(\dfrac{x}{2}) = 1+\tan^2(\dfrac{x}{2}) = 1+t^2  \) lo tienes.

[Fernando Revilla]

Hola, haber haciendo el cambio  consegui lo siguiente: \( \sin x=\frac{2t}{t^2+1} , \ \ \cos x=\frac{t^2-1}{t^2+1} .  \)  Asi hice la sustitucion y consegui:
 \(  \displaystyle  \int_{0}^{1}\frac{9}{(2+\frac{t^2-1}{t^2+1})^2}  \) solo que en esta parte nose como obtener \( dx \) en funcion de \( dt \)   

Mira aquí.

P.D. Se adelantó Juan Pablo.

[weimar]

Muy bien, hice el cambio  , simplifique y obtuve: \( \displaystyle 18\int_{0}^{1}\frac{t^2+1}{(3t^2+1)^2}dt \) y de ai como proseguir 

[ciberalfil]

Descompón la función, que es racional, en suma de fracciones simples o aplica el método de Hermite ya que presenta en el denominador raíces imaginarias múltiples. Aunque debería haber un método más sencillo, a ver si se me ocurre algo.

\( \displaystyle\int_{0}^{2 \pi} \frac{9}{(2+\cos x)^2}dx=\displaystyle 18\int_{0}^{1}\frac{t^2+1}{(3t^2+1)^2}dt \) ...........??

Salu2.

[weimar]

Es verdad hice por fracciones parciales y quedo asi:

$$ \int_{0}^{1}\frac{6}{3t^2+1}dt+\int_{0}^{1}\frac{12}{(3t^2+1)^2}dt$$

la primera integral me salio: \( \frac{2\sqrt{3}\pi}{3} \) y la segunda 

[ciberalfil]

Pues la segunda parece complicadilla, mejor aplica Hermite. Conoces el método, está en internet. En este enlace lo tienes:

https://ocw.unizar.es/ciencias-experimentales/calculo-integral-para-primeros-cursos-univesitarios/MaterialTeorico/04integrales.pdf

Salu2

[weimar]

Hola no conosco el metodo, esa integral era para hacer con base de calculo 1.
Por otro lado la otra integral intente hacer por fracciones parciales de la siguiente forma

$$\frac{12}{(3t^2+1)^2}=\frac{at+b}{3t^2+1}+\frac{ct+d}{(3t^2+1)^2}  \Rightarrow{ a=-c, a=-b, b+d=12}$$
 como conseguir los valores exactps para  $$a,b,c,d$$