Autor Tema: Diferencial de una función k lineal.

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23 Octubre, 2020, 04:33 am
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S.S

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Hola a todos.

Tengo el siguiente problema:

Sea \( B: \mathbb{R^{n}}\times\mathbb{R^{n}}\times... \times\mathbb{R^{n}} \longrightarrow{\mathbb{R^{m}}} \) una función k lineal. Halle la derivada j-ésima (\( B^{j} \)) para cada \( j \in \mathbb{N} \).

Para \( j> k \) se tiene \( B^{j} \equiv{0} \). El problema reside para escribir la fórmula de los anteriores de una manera más compacta. Por ejemplo, para \( H_1= (h_{11},h_{21},..., h_{k1}) \) se tiene para la primera derivada:

\( B^{\prime}(X_{1},X_{2},..., X_{k})(h_{11},h_{21},..., h_{k1}) = B(h_{11},X_{2},..., X_{k}) + B(X_1,h_{12},..., X_{k})+...+B(X_1,X_{2},..., h_{k1}) \)

Para la segunda tendría que derivar cada termino de la suma anterior que es un a transformación \( k-1 \) lineal, con lo que me saldrían por cada sumando \( k-1 \) términos , siendo cada termino una transformación \( k-2 \) lineal y así hasta la derivada k-ésima, la que al final (si no estoy mal)  tendría \( k! \) terminos. Pero como se ve la notación se hace muy extensa.
 ¿Existe alguna forma de hacerla más compacta?

\(  \)