Autor Tema: Area de superficie

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23 Octubre, 2020, 01:34 am
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weimar

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Calcular el area de una parte del cilindro \( x^2+y^2=2x \) entre el plano \( z=0,
 \mbox{ y } z=\sqrt{x^2+y^2}  \)

Parametrize por \(  \chi(r,\theta)=(  1+r cos \theta , r \sin \theta, (1+2r\cos \theta+r^2)^{1/2}) \)

calculando \( \| \chi_{r} \times \chi_{\theta} \|= \sqrt{2} r \),  la pregunta es como calculo los limites  de \( r , \theta \)  :banghead:

23 Octubre, 2020, 02:40 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

El cilindro se puede especificar como \( (x-1)^2+y^2=1 \) luego es un cilindro circular de radio 1, cuyo eje es paralelo al eje z y pasa por el punto (1,0,0), revisa el enunciado por que tal como esta, lo que se  tiene que parametrizar es la superficie cilíndrica, en la solución que se muestra no se esta parametrizando la superficie cilíndrica; sino más bien la superficie \( (x,y,\sqrt[ ]{x^2+y^2}) \) y esto sirve para hallar el área de la superficie  \( (x,y,\sqrt[ ]{x^2+y^2}) \) que esta dentro del cilindro y esto es diferente a determinar el área de la parte del cilindro comprendida entre el plano XY y la superficie  \( (x,y,\sqrt[ ]{x^2+y^2}) \), es conveniente que se haga un esquema y en todo caso se puede hallar ambas áreas; pero aclarando.



Saludos

23 Octubre, 2020, 03:05 am
Respuesta #2

weimar

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Hola, es verdad parametrize ahora por \( \varphi (\theta, z)=(1+\cos \theta,\sin \theta, z) , \theta \in [0,2\pi] \) luego tenemos que
\( \|\varphi _{\theta}\times \varphi_{z}\|=1   \Rightarrow{    A= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1+\cos \theta )}}=8  \), muy bien , gracias .