[Bobby Fischer]

Hola,

¿Por qué una matriz unitaria conserva la norma?

Gracias.

[geómetracat]

Una matriz \( U \) es unitaria si \( U^*U=UU^*=I \), donde \( U^* \) es la matriz adjunta (la traspuesta de la conjugada compleja).

La norma en \( \Bbb C^n \) viene dada por \( ||z||^2 = z^*z \), donde aquí \( z \) es un vector columna \( n \times 1 \).
Luego, \( ||Uz||^2 = (Uz)^*(Uz)= z^*U^*Uz \).
De aquí se ve que si \( U \) es unitaria, \( ||Uz||=||z|| \) y por tanto \( U \) preserva la norma. Y recíprocamente, si \( U \) es una matriz que preserva la norma, tenemos que se debe cumplir \( z^*U^*Uz=z^*z \) para todo vector \( z \in \Bbb C^n \). De aquí se sigue que \( U^*U=I \) y por tanto \( U \) es unitaria.

[Fernando Revilla]

¿Por qué una matriz unitaria conserva la norma?

Conserva la norma \( \left\|{\;}\right\|_2 \) como ha demostrado geómetracat. No es cierto en general para otras normas, por ejemplo, elige la matriz unitaria \( A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{\;\;1}\end{bmatrix} \) y el vector \( u=(1,0)^T \). Entonces, \( \left\|{u}\right\|_1=1 \) y \( \left\|{Au}\right\|_1=\sqrt{2} \).