[Dark]

Sea \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\frac{x}{n(n+x)}} \) mostrar rigurosamente que \( f \) es diferenciable.

No tengo claro como realizar la demostración, si me pidieran demostrar en cierto punto tendría más idea pero de manera general no veo el camino.

[Masacroso]

Sea \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\frac{x}{n(n+x)}} \) mostrar rigurosamente que \( f \) es diferenciable.

No tengo claro como realizar la demostración, si me pidieran demostrar en cierto punto tendría más idea pero de manera general no veo el camino.

Utiliza la definición de derivada en un punto y mira si puedes mover el límite dentro de la sumatoria, por ejemplo observando si la sumatoria converge uniformemente, aunque lo haga localmente.

[Dark]

Primero quiero ver si la derivada de la sucesión converge uniformemente.

Entonces, \( \displaystyle f^{\prime}_n(x)=\frac{n(n+x)-nx(n+1)}{n^2(n+x)^2} \)

\( \Longrightarrow{}\displaystyle \lim_{n \to{}\infty}{\frac{n(n+x)-nx(n+1)}{n^2(n+x)^2}}=0 \)

Por lo tanto la sucesión converge localmente a \( f(x)=0 \)

Luego se me ocurre utilizar la caracterización del supremo

\( \displaystyle \sup\left |{0-\frac{n(n+x)-nx(n+1)}{n^2(n+x)^2}}\right |=\sup \left |{\frac{1+x}{(n+x)^2}}\right | \)

\( \Longrightarrow{}\displaystyle \lim_{n \to{}\infty}{\sup \left |{\frac{1+x}{(n+x)^2}}\right |}=0 \)

De esta manera tendría que la serie converge uniformemente.

Utilicé esta caracterización: La serie \( \sum_{}^{}f_n \) converge uniformemente en S hacia su suma si y solo si \( \lim_{n \to{}\infty}{\sup \left\{{\left |{s(x)-s_n(x)}\right |=0, x\in{S}}\right\}} \) donde \( s_n \) es la suma parcial.

No sé si por aquí iba la sugerencia de Masacroso.

[Masacroso]

Primero quiero ver si la derivada de la sucesión converge uniformemente.

Entonces, \( \displaystyle f^{\prime}_n(x)=\frac{n(n+x)-nx(n+1)}{n^2(n+x)^2} \)

\( \Longrightarrow{}\displaystyle \lim_{n \to{}\infty}{\frac{n(n+x)-nx(n+1)}{n^2(n+x)^2}}=0 \)

Por lo tanto la sucesión converge localmente a \( f(x)=0 \)

Eso no está bien, que el límite de la sucesión converja a cero no demuestra que la serie converja, lo que tiene que converger es la serie. En verdad es mucho más fácil de lo que suponía ya que sólo te piden confirmar que la derivada existe. Si \( f_n(x):=\frac{x}{n(n+x)} \) entonces tenemos que

\( \displaystyle{
f'(x)=\lim_{h\to 0}\sum_{n\geqslant 1}\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\sum_{n\geqslant 1}\frac{(n+x)(x+h)-(n+x+h)x}{h n(n+x)(n+x+h)}=\lim_{h\to 0}\sum_{n\geqslant 1}\frac1{(n+x)(n+x+h)}
} \)

Ahora simplemente observa que para cada \( x>-1 \) y \( h>-(x+1) \) la serie converge (puntualmente). Si definimos \( g(x,h):=\sum_{n\geqslant 1}\frac1{(n+x)(n+x+h)} \), entonces para demostrar que \( f'(x)=g(x,0) \), para cualqueir \( x>-1 \) elegido, te basta con demostrar que \( \lim_{h\to 0}|g(x,h)-g(x,0)|=0 \). Con lo dicho seguro ya puedes resolverlo, ahí te lo dejo.

[Dark]

Bueno creo que demostrar que \( \displaystyle \lim_{h \to{}0}{\left |{g(x,h)-g(x,0)}\right |}=0  \) es trivial.

Pero todavía no tengo claro en qué influye que \( x>-1 \) y que \( h>-(x+1) \) para ver si me puede explicar.

[Masacroso]

Bueno creo que demostrar que \( \displaystyle \lim_{h \to{}0}{\left |{g(x,h)-g(x,0)}\right |}=0  \) es trivial.

Pero todavía no tengo claro en qué influye que \( x>-1 \) y que \( h>-(x+1) \) para ver si me puede explicar.

Observa que \( x>-1 \) ya que si \( x=-1 \) entonces \( 1+x=0 \), es decir, la serie estaría indeterminada. Igualmente se podría extender el rango de la función a intervalos de números negativos pero es algo laborioso y pesado, es más sencillo asumir (o imponer) que \( x>-1 \). Que \( h>-(1+x) \) es para lo mismo: es la condición que asegura que ningún denominador es cero, dado un \( x>-1 \). A partir de eso tenemos que, eligiendo un rango cerrado de valores de \( h \) (para un \( x \) determinado) entonces las series convergen uniformemente respecto de \( h \).