Autor Tema: Ejercicio sobre el Teorema del valor medio de Lagrange

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18 Octubre, 2020, 02:25 am
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Axel_P

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Hola a todos,
Hace 5 horas que estoy intentando resolver este ejercicio :banghead:. No entiendo como despejar x para poder obtener el valor \( r_0 \). Lo único que se me ocurrió fue tomar valores muy cercanos arbitrariamente
Agradecería que puedan ayudarme pues ya no se qué hacer
Saludos


Hallar un valor de \( r_0>0 \) para el cual sea cierto que

        \( e^x > 2x^2+4\quad \forall x>r_0. \)

Justificar la respuesta mediante el teorema del valor medio de Lagrange o algunos de sus corolarios.


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18 Octubre, 2020, 09:19 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Bienvenido al foro.

Hallar un valor de \( r_0>0 \) para el cual sea cierto que

        \( e^x > 2x^2+4\quad \forall x>r_0. \)

Justificar la respuesta mediante el teorema del valor medio de Lagrange o algunos de sus corolarios.

Debes leer las reglas del foro acerca del uso de LaTeX para evitar documentos anexos. Así mismo es conveniente que siempre escribas lo que has intentado.

Sugerencia. Si aplicas el torema de Lagrange a la función \( f(x)=e^x-2x^2-4 \) en el intervalo \( [a,b] \) obtendrás \[ e^c-4c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \] Si \[ e^c-4c>0 \], entonces \( f(b)>f(a). \) Demuestra que a partir de un \( c \) se verifica \( e^c-4c>0 \) y \[ f(a)>0 \].

18 Octubre, 2020, 04:42 pm
Respuesta #2

Axel_P

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Muchas gracias por responder.
Mi inconveniente es esa inecuación, pues no sé como despejar la c. Cuando busco la resolución de la inecuación en, por ejemplo, Wolfram Alpha me devuelve un valor en la función W de Lambert, tema que aún no vi en la cursada.
¿Existe algún otro camino para poder encontrar la c?

18 Octubre, 2020, 05:55 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Muchas gracias por responder.
Mi inconveniente es esa inecuación, pues no sé como despejar la c. Cuando busco la resolución de la inecuación en, por ejemplo, Wolfram Alpha me devuelve un valor en la función W de Lambert, tema que aún no vi en la cursada.
¿Existe algún otro camino para poder encontrar la c?

Es que no te piden el ínfimo de los \( r_0 \), te piden un \( r_0 \). Entonces, la función \( g(c)=e^c-4c \) es estrictamente creciente por ejemplo para \( c>4 \) (¿por qué?) y \( e^4-4>0 \). También, al ser \( e>2.5 \) queda

        \( f(4)=e^4-2\cdot 4^2-4>(2.5)^4-2\cdot 4^2-4=39.0625-32-4=3.0625>0. \)

Concluyendo, para \( x>4 \) tenemos

        \( \dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}=e^c-4 >0 \)

con lo cual, \( f(x)=e^x-2x^2-4>f(4)>0 \) si \( x>r_0=4 \), o bien \( f(x)=e^x>2x^2+4 \) si \( x>r_0=4 \)

Fíjate que en WolframAlpha el ínfimo de los valores de \( r_0 \) es \( 3.19551 \), pero con buen criterio, el enunciado sólo pide un \( r_0 \) para no trabajar con el irracional \( e \).

18 Octubre, 2020, 09:16 pm
Respuesta #4

Axel_P

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