Autor Tema: Matriz en \[\ell_2\]

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17 Octubre, 2020, 10:34 pm
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wild_iyou

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Hola estoy viendo el siguiente ejercicio del libro Functional analysis de S. Kesavan.

Sea  \[(a_k)_{k=0}^{\infty}\] una sucesión de números reales tal que \[ \sum_{k=0}^{\infty}\lvert a_k \lvert < \infty.\] Considere la matriz triangular inferior infinita
\[ \left[\begin{array}{ccccc}
a_{0} & 0 & 0 & \ldots & \ldots \\
a_{1} & a_{0} & 0 & \ldots & \ldots \\
a_{2} & a_{1} & a_{0} & \ldots & \ldots \\
a_{3} & a_{2} & a_{1} & \ldots & \ldots \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots
\end{array}\right] \].


Sea \[A\] una aplicación lineal definida en \[\ell_{2}\] por esta matriz (se define una sucesion \[A(x)\] cuya i-ésima componente es dada por \[\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j)\]. Muestre que \[A \in \mathcal{L}\left(\ell_{2}\right)\] (lineales continuas de \[\ell_2\] en \[\ell_2\]) y que
\[
\|A\| \leq \sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|
\].

Estuve tratando de ver que \[ \sum\limits_{i=1}^{\infty} \sum\limits_{j=1}^{\infty}\lvert a_{ij}\lvert^2<\infty\] para aplicar un resultado anterior, pero no me resultó.
Agradecería me dieran una ayuda por favor.

17 Octubre, 2020, 11:52 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Me tenía mosqueado este problema, pero desde luego suponía que no había forma simple de resolverlo porque a los indios les encanta el cálculo (a mí no :P). En la página 43 del libro te describen cómo resolver el ejercicio, simplemente toma \( \beta =\gamma =\sum_{k\geqslant 0}|a_k| \) y \( p_j=1 \) para todo \( j \). El resultado es inmediato, al igual que la cota a la norma del operador.

18 Octubre, 2020, 01:10 am
Respuesta #2

wild_iyou

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Hola.
En ejemplo se pide que \[a_{ij}\geq 0\] para todo \[i, j\]. Por lo que veo problema para el ejercicio en esta expresión,
\[\sum_{j=1}^{\infty} a_{i j} x_{j}=\sum_{j=1}^{\infty} \sqrt{a_{i j}} \sqrt{p_{j}} \frac{\sqrt{a_{i j}} x_{j}}{\sqrt{p_{j}}}\].


18 Octubre, 2020, 02:31 am
Respuesta #3

Masacroso

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Hola.
En ejemplo se pide que \[a_{ij}\geq 0\] para todo \[i, j\]. Por lo que veo problema para el ejercicio en esta expresión,
\[\sum_{j=1}^{\infty} a_{i j} x_{j}=\sum_{j=1}^{\infty} \sqrt{a_{i j}} \sqrt{p_{j}} \frac{\sqrt{a_{i j}} x_{j}}{\sqrt{p_{j}}}\].



Puedes asumir sin pérdida de generalidad que los coeficientes son no negativos, simplemente recuerda que

\( \displaystyle{
\sum_{k\geqslant 1}|y_k|<\infty \implies \left| \sum_{k\geqslant 1}y_k \right|<\infty
} \)

Es decir que puedes hacer la demostración asumiendo que los \( a_{ij} \) son todos no-negativos, y al demostrar ese caso demuestras automáticamente el caso general.

Añado: lo clarifico un poco: supongamos que \( B \) es el operador cuyos coeficientes son los valores absolutos de los de \( A \). Entonces como \( B(x)\in \ell ^2 \) para todo \( x\in \ell  \) y \( \| B\|<\infty  \) es fácil de ver que \( \|A(x)\|\leqslant \|B(x)\| \), y por tanto \( \|A\|\leqslant \| B\| \).

18 Octubre, 2020, 02:59 am
Respuesta #4

wild_iyou

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Ya veo.
Muchas gracias.