Autor Tema: Descomposición de un cuadrado como suma de dos potencias pares consecutivas

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16 Octubre, 2020, 01:07 am
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Jesús Álvarez

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Hola a todos.
Llevo muy poco tiempo en este foro pero me parece que es muy respetuoso e instructivo lo que aquí se escribe y se debate.
Tengo escrito algunos trabajos sobre ecuaciones diofánticas. En éste que comento y adjunto ahora y que no está publicado en sitio alguno he encontrado que hay infinitas formas de expresar el cuadrado de un número natural como suma de dos potencias pares consecutivas, lo que podría ser una generalización de la ecuación pitagórica en otra línea diferente a la que expuso Fermat con su famoso teorema. Agradezco comentarios tanto para este trabajo como para el que expuse la semana pasada. Espero de esta forma seguir las normas del foro.  :)
Saludos
Jesús Álvarez


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Descomposición de un cuadrado como suma de dos potencias de exponentes pares consecutivos
Jesús Álvarez Mesa
Dpto. Matem·ticas. IES Calatalifa
jalvarezmesa@educa.madrid.org


Resumen

En este trabajo se demuestra que hay infinitos números naturales cuyos cuadrados se pueden expresar como la suma de los cuadrados de dos potencias pares consecutivas de números naturales. A continuación, partiendo de la teoría precedente, se da el correspondiente procedimiento para efectuar la mencionada descomposición de determinados cuadrados de n úmeros naturales como suma de dos potencias de exponentes pares consecutivos.

    Proposición: toda fracción propia positiva e irreducible de la forma \[ \dfrac{p}{q} \] se puede escribir como el cociente de dos potencias de base natural de grados \[ n \] y \[ n+1 \] siendo \[ n\in \mathbb{N},\, n\geq 1 \], es decir, existen \[ r,\; s\in \mathbb{N} \] que cumplen:

\[ \dfrac{p}{q}=\dfrac{r^{n+1}}{s^n} \]


Demostración:   \[ \dfrac{p}{q}=\dfrac{p\cdot q^{n-1}}{q\cdot q^{n-1}}=\dfrac{p\cdot q^{n-1}}{q^{n}}=\dfrac{(p\cdot q^{n-1})\cdot (p\cdot q^{n-1})^n}{q^{n}\cdot (p\cdot q^{n-1})^n}=\dfrac{(p\cdot q^{n-1})\cdot (p\cdot q^{n-1})^n}{p^n\cdot q^{n}\cdot (q^{n-1})^n}=\dfrac{(p\cdot q^{n-1})^{n+1}}{(p\cdot q\cdot q^{n-1})^n}=\dfrac{(p\cdot q^{n-1})^{n+1}}{(p\cdot q^{n})^n}=\dfrac{r^{n+1}}{s^n} \]

Siendo  \[ r=p\cdot q^{n-1} \]  y  \[ s=p\cdot q^{n} \]


Ejemplos:

a) \[ \dfrac{p}{q}=\dfrac{2}{7},\; n=4 \]

\[ r=2\cdot 7^3=686 \]

\[ s=2\cdot 7^4=4802 \]

\[ \dfrac{p}{q}=\dfrac{r^{n+1}}{s^n}=\dfrac{686^5}{4802^4} \]


b) \[ \dfrac{p}{q}=\dfrac{3}{4},\; n=5 \]

\[ r=3\cdot 4^4=768 \]

\[ s=3\cdot 4^5=3072 \]

\[ \dfrac{p}{q}=\dfrac{r^{n+1}}{s^n}=\dfrac{768^6}{3072^5} \]


Como \[ m=\dfrac{3}{4} \] es uno de los valores de m que generan ternas pitagóricas [1], pues \[ 3^2+4^2=5^2 \], entonces ha de cumplirse que  \[ (768^6)^2+(3072^5)^2 \] es un cuadrado perfecto:

\[ \sqrt{(768^6)^2+(3072^5)^2}=341 992 096 703 447 040 \]

En otras palabras, se ha encontrado una solución a la ecuación    \[ x^{12}+y^{10}=z^2 \]
\[ 768^{12}+3072^{10}=(341 992 096 703 447 040)^2 \]

En general si \[ \dfrac{p}{q}=\dfrac{r^{n+1}}{s^n} \], entonces eligiendo adecuadamente la fracción propia \[ m=\dfrac{p}{q} \] como un valos de la forma \[ m(a)=\dfrac{1-a^2}{2a} \], con \[ a\in \mathbb{Q} \] pues son los valores de \[ m\in\mathbb{Q} \] que generan ternas Pitagóricas [1], tendremos:

\[ (r^{n+1})^2+(s^n)^2=z^2\;\Rightarrow\; r^{2n+2}+s^{2n}=z^2 \].

En consecuencia, la ecuación \[ x^{2n+2}+y^{2n}=z^2 \] tiene infinitas soluciones y el procedimiento para encontrar alguna solución parte de expresar algun valor de \[ m(a)=\dfrac{1-a^2}{2a} \] como un cociente de la forma \[ \dfrac{r^{n+1}}{s^n} \],  y la solución será   \[ x=r^{n+1},\; y=s^n \].


Otro ejemplo:

c) \[ \dfrac{p}{q}=\dfrac{5}{7},\; n=7 \]
Como \[ \dfrac{5}{12} \] es uno de esos valores de m que generan ternas Pitagóricas [1], se tiene:
\[ r=5\cdot 12^{7-1}= 14 929 920 \]
\[ s=5\cdot 12^{7}= 179 159 040 \]

\[ \dfrac{5}{12}=\dfrac{14 929 920^{7+1}}{179 159 040^{7}}=\dfrac{14 929 920^{8}}{179 159 040^{7}} \]

Una solución de \[ x^{16}+y^{14}=z^2 \]   es    \[ x= 14 929 920 \]   \[ y=179 159 040 \], z=6418 494 788 955 509 280 233 214 441 159 579 113 718 152 335 196 160 000 000.
pues,
\[ 14 929 920^{16}+179 159 040^{14}=6418 494 788 955 509 280 233 214 441 159 579 113 718 152 335 196 160 000 000^2 \]


Referencia
[1]Álvarez Mesa, J. (2014), Condiciones algebraicas de existencia de Ternas Pitagóricas, Boletín de la Sociedad "Puig Adam" de Profesores de Matemáticas, 98, págs. 82-92.





16 Octubre, 2020, 10:34 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Llevo muy poco tiempo en este foro pero me parece que es muy respetuoso e instructivo lo que aquí se escribe y se debate.
Tengo escrito algunos trabajos sobre ecuaciones diofánticas. En éste que comento y adjunto ahora y que no está publicado en sitio alguno he encontrado que hay infinitas formas de expresar el cuadrado de un número natural como suma de dos potencias pares consecutivas, lo que podría ser una generalización de la ecuación pitagórica en otra línea diferente a la que expuso Fermat con su famoso teorema. Agradezco comentarios tanto para este trabajo como para el que expuse la semana pasada. Espero de esta forma seguir las normas del foro.  :)
Saludos
Jesús Álvarez

Está muy bien.

Dos sugerencias:

1) Muy directa desde lo que has hecho: podrías dejar escrita también a expresión general de la familia de soluciones  \( (r,s,z) \) a la ecuación \( x^{2n+2}+y^{2n}=z^2. \) en función de la expresión habitual de la terna pitagórica primitiva \( (a^2-b^2,2ab,a^2+b^2) \).

2) Te propongo que generalices el asunto estudiando soluciones \( x^{2n}+y^{2m}=z^2 \). Tomando \( m=n+k \). Tu has estudiado \( k=1 \). Explora que ocurre para \( k>1 \) y si tu idea puede extrapolarse a esos casos.

Saludos.