[gonzalezantonio]

Buenas tardes.
Me he topado con el siguiente problema que, aun siendo básico, me ha suscitado dudas.

Sea \( h \) una función que cumple \(  h(x)\rightarrow{-\infty} \) cuando \(  x\rightarrow{+\infty} \) ¿Qué puede decirse del límite \( \displaystyle \lim_{x \to{+\infty}}{{h(x)}^{h(x)}} \)?

En un principio yo pensé que el límite no tiene por qué existir. Por ejemplo tomando \(  h(x)=-x  \) tendríamos \( \displaystyle \lim_{x \to{+\infty}}{{(-x)}^{-x}} \) y esta función solo está definida para valores de x negativos, por lo que no tiene sentido hallar su límite en \(  +\infty  \). No obstante, otros razonamientos que he visto hacen algo así:
\(  (-\infty)^{(-\infty)}=\frac{1}{(-\infty)^{\infty}} \)
y como \(  \infty ^\infty  \) tiende a \(  \infty \) entonces \(  \frac{1}{(-\infty)^{\infty}} \) tiende a 0. Es decir, el límite vale 0.

Agradezco cualquier indicación que me aporte un poco de claridad en este límite, y ya de paso calcular un poco más formalmente su valor, si es que existe.

Gracias y un saludo.

[Fernando Revilla]

Sea \( h \) una función que cumple \(  h(x)\rightarrow{-\infty} \) cuando \(  x\rightarrow{+\infty} \) ¿Qué puede decirse del límite \(  \lim_{x \to{+\infty}}{{h(x)}^{h(x)}} \)?
En un principio yo pensé que el límite no tiene por qué existir. Por ejemplo tomando \(  h(x)=-x  \) tendríamos \(  \lim_{x \to{+\infty}}{{(-x)}^{-x}} \) y esta función solo está definida para valores de x negativos, por lo que no tiene sentido hallar su límite en \(  +\infty  \).

Con las hipótesis que mencionas, existe \( M>0 \) tal que \( h(x)<0 \) si \( x>M \), en consecuencia \( h(x)^{h(x)} \) nunca está definida en un conjunto para el cual \( +\infty \) un punto de acumulación. No tiene sentido hablar del límite.

No obstante, otros razonamientos que he visto hacen algo así: \(  (-\infty)^{(-\infty)}=\frac{1}{(-\infty)^{\infty}} \) y como \(  \infty ^\infty  \) tiende a \(  \infty \) entonces \(  \frac{1}{(-\infty)^{\infty}} \) tiende a 0. Es decir, el límite vale 0.

No está bien razonado. La igualdad simbólica \(  (-\infty)^{(-\infty)}=\frac{1}{(-\infty)^{\infty}} \) sería en todo caso \(  (-\infty)^{(-\infty)}=\frac{1}{(-\infty)^{+\infty}} \) y estamos en la misma situación anterior.

[gonzalezantonio]

Perfecto, era lo que me parecía. Gracias por la respuesta.