[Quema]

Si \( f \) es continua, cóncava-convexa diferenciable y creciente en \( [0,1] \) con \( f(0)=0,f(1)=1 \) quiero tener indicadores de su curvatura y elevación en base a las siguiente definiciones. Elevación es la distancia de la función respecto al eje de las abscisas y curvatura su horizontalidad respecto al mismo eje (aunque no se si estas dos definiciones son las más convenientes). Para la elevación pensé en utilizar \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx \) y para medir su curvatura \( \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)dx, \) con \( f'(a)=f'(b)=1 \) con \( f'(x)<1 \) para \( x\in(a,b). \) Son razonables estos indicadores, de serlo?. Cuáles serían para \( f(x)=e^{-\beta(-ln(x))^\alpha}, \) \( \beta>0,\alpha \in (0,1). \) Para esta función \( \alpha \) mediría su curvatura y \( \beta \) su elevación, aunque creo que los dos parámetros influyen en los dos indicadores.

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( f \) es continua, cóncava-convexa diferenciable y creciente en \( [0,1] \) con \( f(0)=0,f(1)=1 \) quiero tener indicadores de su curvatura y elevación en base a las siguiente definiciones. Elevación es la distancia de la función respecto al eje de las abscisas y curvatura su horizontalidad respecto al mismo eje (aunque no se si estas dos definiciones son las más convenientes).

Son definiciones imprecisas. La conveniencia y como concretarlas depende de para qué las queramos; que propiedades nos gustaría que cumpliesen esos conceptos.

Para la elevación pensé en utilizar \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx \)

Ahí estás tomando el área que deja debajo la función. ¿Tiene que ver con la "altura" de la función"?. Sin duda.

Para \( f(x)=e^{-\beta(-ln(x))^\alpha} \) estos gráficos representan esa elevación cuando \( \alpha \) varía en \( (0,1) \) y \( \beta \) toma los valores \( 0.3,0.6,0.9,1.2 \).



Nota que no se puede resolver de manera explícita la integral.

y para medir su curvatura \( \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)dx, \) con \( f'(a)=f'(b)=1 \) con \( f'(x)<1 \) para \( x\in(a,b). \)

Eso sería:

\( \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \) para \( a,b \) tales que \( f'(a)=f'(b)=1 \) con \( f'(x)<1 \) para \( x\in(a,b). \)

Para \( f(x)=e^{-\beta(-ln(x))^\alpha} \) estos gráficos representan esa elevación cuando \( \beta \) varía en \( (0,2) \) y \( \alpha \) toma los valores \( 0.2,0.4,0.6,0.8 \).

Son razonables estos indicadores, de serlo?

.

¿Razonables? Desde luego el primero razonable es. Otra cosa es que se adapte en todos los sentidos a lo que tu esperas del concepto de elevación

El segundo.. no se.. lo veo menos claro. Pero de nuevo no es algo objetivo.

Cuáles serían para \( f(x)=e^{-\beta(-ln(x))^\alpha}, \) \( \beta>0,\alpha \in (0,1). \) Para esta función \( \alpha \) mediría su curvatura y \( \beta \) su elevación, aunque creo que los dos parámetros influyen en los dos indicadores.

Ninguno de los dos se puede calcular de manera explícita; uno porque involucra una integral que no es expresable con funciones elementales y otro resolver unas ecuaciones que no se pueden solucionar de manera explícita.

Por eso he hecho las gráficas para tener una idea de como va.

De todas formas insisto mucho en que todo esto es un tango vago si no se tiene claro sobre para que se quieren usar esos conceptos de elevación y curvatura y/o como es esperable que se comporten.

Saludos.

[Quema]

i) Con los supuestos de \( f \) puedo afirmar que siempre existirán \( a,b \) y estos serán únicos? Creo que eso puede analizarse estudiando la función \( h(x)=f(x)-x \) notando que \( h(0)=h(1)=0. \)
ii) Respecto al índice de elevación cuál es la intuición de tal indicador, si es que hay alguna.
iii) Respecto a la curvatura, se te ocurre algún índice que utilice la derivada segunda.
iv) Hay alguna forma de relacionar la elevación y curvatura definidas más arriba.

[Luis Fuentes]

Hola

i) Con los supuestos de \( f \) puedo afirmar que siempre existirán \( a,b \) y estos serán únicos? Creo que eso puede analizarse estudiando la función \( h(x)=f(x)-x \) notando que \( h(0)=h(1)=0. \)

Si. Se trata del número de raíces de \( f'(x)-1 \). Por ser cóncava-convexa \( f''(x) \) sólo se anula en un punto; por tanto \( f'(x)-1 \) sólo se anula a lo sumo en dos puntos.

ii) Respecto al índice de elevación cuál es la intuición de tal indicador, si es que hay alguna.

Con la definición que has escrito es el área bajo la curva.

iii) Respecto a la curvatura, se te ocurre algún índice que utilice la derivada segunda.

Hombre la definición clásica de curvatura es:

\( \kappa(x)=\dfrac{|f''(x)|}{(1+f'(x)^2)^{3/2}} \)

lo que pasa que es puntual; es decir es un valor de curvatura en cada punto de la misma.

iv) Hay alguna forma de relacionar la elevación y curvatura definidas más arriba.

mmmm.. a vuelapluma no se me ocurre.

Saludos.

[Quema]

Y no puede tomarse el valor promedio \( \int_{0}^{1}\kappa(x) \) como indicador de la curvatura de \( f \) en \( [0,1] \) creo que se llama curvatura total, está acotado?

Aunque pensando para el fin que persigo esa definición no me gusta. Pues \( f(x)=x \) su curvatura sería \( \kappa(x)=0 \) para todo \( x \) y lo mismo pasaría para una función \( f(x)=c \) siendo \( c \) una constante. La curvatura la entiendo como lo más paralelo al eje de las abscisas de \( f. \) Y ésta última sería la función con una mayor curvatura que la primera.

[Luis Fuentes]

Hola

Y no puede tomarse el valor promedio \( \int_{0}^{1}\kappa(x) \) como indicador de la curvatura de \( f \) en \( [0,1] \) creo que se llama curvatura total, está acotado?

Se podría promediar integrando, si...

Aunque pensando para el fin que persigo esa definición no me gusta. Pues \( f(x)=x \) su curvatura sería \( \kappa(x)=0 \) para todo \( x \) y lo mismo pasaría para una función \( f(x)=c \) siendo \( c \) una constante. La curvatura la entiendo como lo más paralelo al eje de las abscisas de \( f. \) Y ésta última sería la función con una mayor curvatura que la primera.

Como te decía todo esto es un tanto vago si uno no clarifica muy bien para que quiere definir esos conceptos.

Saludos.

[Quema]

Vi esta definición, la función \( f \) tiene más curvatura que la función \( g \) si \( f(p+a)-f(p)>g(p+a)-g(p) \) en el intervalo \( [c,d] \) con \( p,p+a \in [c,d], \) \( a>0. \) Cómo se relaciona esta definición con la discusión anterior?

[Luis Fuentes]

Hola

Vi esta definición, la función \( f \) tiene más curvatura que la función \( g \) si \( f(p+a)-f(p)>g(p+a)-g(p) \) en el intervalo \( [c,d] \) con \( p,p+a \in [c,d], \) \( a>0. \) Cómo se relaciona esta definición con la discusión anterior?

Ahí lo que está diciendo es que la función \( f \) crece más que la \( g \) en cualquier intervalo contenido en \( [c,d] \); si son derivables sino me equivoco eso equivale a que \( f'\geq g' \).

Saludos.

[Quema]

Puede ser que sea, para \( a \) inifnitésimo

\( f'(x)= \displaystyle\lim_{x\rightarrow{}a}\frac{f(x+a)-f(x)}{x-a}\geq{}g'(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow{}a}\frac{g(x+a)-g(x)}{x-a}. \) Pero la condición anterior no condiciona a que ese valor sea infinitésimo. Por lo tanto, podría ocurrir que en algún punto esa desigualdad de derivadas primeras no se cumpla en algún punto del intervalo, no?.

[Luis Fuentes]

Hola

Puede ser que sea, para \( a \) inifnitésimo

\( f'(x)= \displaystyle\lim_{x\rightarrow{}a}\frac{f(x+a)-f(x)}{x-a}\geq{}g'(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow{}a}\frac{g(x+a)-g(x)}{x-a}. \) Pero la condición anterior no condiciona a que ese valor sea infinitésimo. Por lo tanto, podría ocurrir que en algún punto esa desigualdad de derivadas primeras no se cumpla en algún punto del intervalo, no?.

No estoy seguro de entenderte.

Lo que yo digo es que si para todos \( p,p+a\in [c,d] \) con \( a\geq 0 \) se tiene que \( f(p+a)-f(p)\geq g(p+a)-g(p) \) entonces se cumple que \( f'(x)\geq g'(x) \) en \( (c,d) \).

Basta tener en cuenta que si \( a>0 \) entonces:

\( \dfrac{f(p+a)-f(p)}{x-a}\geq \dfrac{g(p+a)-g(p)}{x-a} \)

y si \( a<0 \):

\( \dfrac{f(p+a)-f(p)}{x-a}=\dfrac{f(p+a+(-a))-f(p+a)}{a-x}\geq \dfrac{g(p+a+(-a))-g(p+a)}{a-x}= \dfrac{g(p+a)-g(p)}{x-a} \)

Por tanto en el paso al límite de la derivada se mantiene esa desigualdad.

Saludos.