Autor Tema: Funciones Biyectivas

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14 Octubre, 2020, 02:35 am
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maritar

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Buenas noches a todos, porfavor me podrian ayudar con este ejercicio, ya lo intente de mil formas pero no logro entenderlo. yo estudio a distancia y me ha sido dificil lograr comprender las funciones biyectivas.
si pueden ayudarme porfavor, se los agradeceria mucho

Dada la función \( f: \Bbb R-\{-3/7\}\to \Bbb R-\{-2/7\}  \), donde \( f(x) =\dfrac{2x-7}{7x+3}  \)
determine:

a) Si la función es biyectiva.
b) La inversa de ser posible
c) Determinar si es creciente ó decreciente

Mensaje corregido desde la administración.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.


14 Octubre, 2020, 08:07 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Dada la función f: R − {−3/7} → R − {−2/7} , donde f(x) = 2x−7 / 7x+3
determine: a) Si la función es biyectiva.

Supongo que hay un error, ese \( -2/7 \) ha de ser \( 2/7. \)

Para \( x_1\ne -3/7 \) y \( x_2\ne -3/7 \),
        \[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow \frac{2x_1-7}{7x_1+3}=\frac{2x_2-7}{7x_2+3}\Rightarrow\ldots \Rightarrow 6(x_1-x_2)=0\Rightarrow x_1=x_2, \]
luego es inyectiva.
Para \( y\in \mathbb{R}-\left\{{2/7}\right\} \), existe \( x\in \mathbb{R}-\left\{{-3/7}\right\} \) tal que \( f(x)=y \) si y sólo si \[  \frac{2x-7}{7x+3}=y \].
Resolviendo, obtendrás \[ x=\frac{3y+7}{2-7y} \] i.e. existe \( x \) para todo \( y\in \mathbb{R}-\left\{{2/7}\right\} \),
luego es sobreyectiva.

b) La inversa de ser posible

De \[ x=\frac{3y+7}{2-7y} \], deducimos \[ f^{-1}:\mathbb{R}- \left\{{2/7}\right\}\to \mathbb{R}-\left\{{-3/7}\right\} \], \[ f^{-1}(x)=\frac{3x+7}{2-7x} \].

c)determinar si es creciente ò decreciente

Considera \[ x_1 > x_2 \] y compara \( f(x_1) \) con \( f(x_2) \).

P.D. Deberías escribir las fórmulas en código LaTeX.