Autor Tema: Inducción n. m. k y exponente

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13 Octubre, 2020, 12:50 am
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emarquezb

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Buen día a todos!
¿Cómo puedo resolver este problema? Sé que es suponer \( n \) y demostrar para \( n+1 \), pero no entiendo de donde sala la igualdad.
Gracias !

\( \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k} = \sum_{m=1}^{2n} \dfrac{(-1)^{m+1}}{m}   \)

13 Octubre, 2020, 01:00 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola emarquezb.

Hace poco respondí una pregunta que te puede servir.

Lo primero es comprender el símbolo de la sumatoria. Lo primero es notar que el subíndice puede cambiar

    \( \displaystyle\sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\dots a_n=\sum_{j=1}^na_j \)

Teniendo eso claro, ya puedes convencerte que para la \( k \) y \( m \) que aparecen en tu problema podrías usar la misma letra (u otra) por lo que lo que debieras probar es:

   \( p(n) \):    \( \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2n} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k} \).

Con esto:

(1) Debes probar que se \( p(1) \) es verdadera.

(2) Supones que \( p(n) \) es verdadera, esto es, supones que

    \( \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2n} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k} \).

(3) Pruebas que \( p(n+1) \) es verdadera, esto es, quieres demostrar que

    \( \displaystyle\sum_{k=n+2}^{2(n+1)}\dfrac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2(n+1)} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k} \).

----

Nota que (3) es sólo reemplazar \( n \) por \( n+1 \) en (2).

Como recomendación: verificaca que p(1), p(2), p(3) son verificar que comprendes bien lo que hay que probar (si comprendes bien la notación de sumatoria) y si la proposición tiene sentidol. Nunca comiences a hacer una demostración "en general" sin entender algunos ejemplos particulares.