Autor Tema: Puntos máximos de una función.

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10 Octubre, 2020, 06:33 pm
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Albersan

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Hola:

Tengo  el siguiente enunciado que dice:  Demuestre que la función \(  z=(x^2+3y^2)*exp(1-x^2-y^2)  \) contiene en la curva de nivel \(  z=3  \), solamente 2 puntos. Es decir en \(  z=3  \) la curva de nivel consiste en solamente 2 puntos.

La parte de los máximos  de la función , por ejemplo: \(  y=1  \) es un máx local en el plano \(  x=0  \)     y      \(  x=0  \) es un máx local en el plano  \(  y=1  \), la entiendo.

Lo que no comprendo es que el autor señala lo siguiente: Considere los círculos de valores constantes en el plano \(  xy  \)

 \(  x^2+y^2=k  \), por lo tanto  \(  z=(k+2y^2)exp(1-k)  \)     ó     \(  z=k'+k''y^2  \)

1) ¿Cómo se consigue  \(  k'  \) o cuál es la variable independiente a la que se deriva  \(  k  \)?
2) ¿Por que \(  z  \) depende sólo de \(  y^2  \) como una parabola?


Muchas gracias

Saludos

10 Octubre, 2020, 09:05 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

...
Lo que no comprendo es que el autor señala lo siguiente: Considere los círculos de valores constantes en el plano \(  xy  \)

 \(  x^2+y^2=k  \), por lo tanto  \(  z=(k+2y^2)exp(1-k)  \)     ó     \(  z=k'+k''y^2  \)

1) ¿Cómo se consigue  \(  k'  \) o cuál es la variable independiente a la que se deriva  \(  k  \)?
2) ¿Por que \(  z  \) depende sólo de \(  y^2  \) como una parabola?
...

A ver    \(  x^2+y^2=k\quad\Rightarrow\quad x^2=k-y^2  \)

Sustituyendo x² en la ecuación de z resulta
\(  z=(k+2y^2)exp(1-k)={\color{blue}k\cdot exp(1-k)}+{\color{red}2\cdot exp(1-k)}\cdot y^2 ={\color{blue}k^{\prime}}+{\color{red}k^{\prime\prime}}\cdot y^2  \)

Saludos
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11 Octubre, 2020, 01:21 pm
Respuesta #2

Albersan

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Hola:
Entonces 1) ¿ \(  y'   \) es sólo la reunión de un conjunto de expresiones?
                  2)  No entiendo bien lo que significa: considere los círculos de valores constantes
                        en el plano \(  xy   \)  \(  x^2+y^2=k  \). Yo aquí interpretó como que
                        \(  x^2+y^2=k  \)  son las curvas de nivel del mismo cilindro en el el.plano
                        xy.

Gracias

11 Octubre, 2020, 07:43 pm
Respuesta #3

ingmarov

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Hola    Editado

Hola:
Entonces 1) ¿ \(  y'   \) es sólo la reunión de un conjunto de expresiones?


Sí, así es. Se sustituye una expresión de valores constantes por una sola.



                  2)  No entiendo bien lo que significa: considere los círculos de valores constantes
                        en el plano \(  xy   \)  \(  x^2+y^2=k  \). Yo aquí interpretó como que
                        \(  x^2+y^2=k  \)  son las curvas de nivel del mismo cilindro en el el.plano
                        xy.

Gracias

\[ x^2+y^2=k \]  es un cilindro, en el plano xy es una circunferencia. EL dominio de la función z son los puntos del plano xy.

Se puede ver que el punto mínimo de z es cuando y=0, entonces el valor de z es igual a k'. Este k' es constante para una circunferencia particular, pero depende del radio de la circunferencia seleccionado.


Si calculas la intersección de este cilindro con la función de z, te puede resultar la expresión final que has citado, o una ecuación de z en función de x. Esa expresión nos dice lo que sucede con z si  tomamos los valores de y contenidos en la circunferncia.


Saludos
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11 Octubre, 2020, 10:04 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Tengo  el siguiente enunciado que dice:  Demuestre que la función \(  z=(x^2+3y^2)*exp(1-x^2-y^2)  \) contiene en la curva de nivel \(  z=3  \), solamente 2 puntos. Es decir en \(  z=3  \) la curva de nivel consiste en solamente 2 puntos.

La parte de los máximos  de la función , por ejemplo: \(  y=1  \) es un máx local en el plano \(  x=0  \)     y      \(  x=0  \) es un máx local en el plano  \(  y=1  \), la entiendo.

Lo que no comprendo es que el autor señala lo siguiente: Considere los círculos de valores constantes en el plano \(  xy  \)

 \(  x^2+y^2=k  \), por lo tanto  \(  z=(k+2y^2)exp(1-k)  \)     ó     \(  z=k'+k''y^2  \)

1) ¿Cómo se consigue  \(  k'  \) o cuál es la variable independiente a la que se deriva  \(  k  \)?
2) ¿Por que \(  z  \) depende sólo de \(  y^2  \) como una parabola?

No se muy bien como termina el autor el argumento.

La idea es que tu función cumple que para \( x^2+y^2\to \infty  \) la función tiende a cero. Fuera de en una bola cerrada suficientemente grande toma valores menores o iguales que uno. Los máximos absolutos de la función corresponden entonces a puntos críticos, dentro de esa bola: es decir puntos donde se anulan simultáneamente ambas derivadas parciales. Se pude ver fácilmente que tales puntos sólo son (-1,0), (1,0),(0,0),(0,1) y (0,-1), donde la función vale respectivamente \( 1,1,0,3,3 \). Por tanto en (0,1) y (0,-1) la función alcanza el máximo absoluto \( z=3 \) y son lo únicos puntos donde la alcanza (en caso contrario debería de haber otro valor donde se anulasen ambas derivadas y la función tomase un valor \( \geq 3 \)).

Saludos.

12 Octubre, 2020, 04:47 pm
Respuesta #5

Albersan

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Si, yo creo que esa sería la demostración correcta. Pero no puedo hacerlo así, debido a que los conceptos de bola cerrada y derivadas parciales aún no me lo han pasado.

El autor del libro establece que considerando \(  x=0  \) (cosa que es algo arbitrario) \(  z=3y^2exp(1-y^2)  \) y además dice que si  \(  y=1  \)  entonces  \(  z=3  \). Ahora \(  \frac{dz}{dy}=6yexp(1-y^2)-6y^3exp(1-y^2)  \) y si  \(  y=1  \) entonces dicha derivada da  \(  6-6=0  \). Entonces viendo la segunda derivada \(  \frac{d^2{z} }{d{y^2}} \) es igual a  \(  6exp(1-y^2)+6yexp(1-y^2)(-2y)-18y^2exp(1-y^2)-6y^3exp(1-y^2)(-2y)  \) que evaluado en \(  y=1  \) da \(  -12<0  \). Por lo tanto \(  y=1  \) es un máx local en el plano \(  x=0  \) .

Algo parecido hace con en plano \(  y=1  \) y establece que en \(  x=0  \)  \(  z=3  \) ademas que en dicho x hay un máx local en el plano y=1.

Cómo llegar a que en   \(  z=3  \) se alcanza en con \(  (0,\pm{1})  \) es lo que vi con Ingmarov.


No sé si ésta demostración está bien hecha debido a que de antemano el autor sabe en que planos están los máximos. Algún breve comentario por favor.

Gracias ingmarov y Luis Fuentes

Saludos.

12 Octubre, 2020, 07:07 pm
Respuesta #6

ingmarov

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Hola  Editado

...
El autor del libro establece que considerando \(  x=0  \) (cosa que es algo arbitrario)
 \(  z=3y^2exp(1-y^2)  \) y además dice que si  \(  y=1  \)  entonces  \(  z=3  \). Ahora \(  \frac{dz}{dy}=6yexp(1-y^2)-6y^3exp(1-y^2)  \) y si  \(  y=1  \) entonces dicha derivada da  \(  6-6=0  \). Entonces viendo la segunda derivada \(  \frac{d^2{z} }{d{y^2}} \) es igual a  \(  6exp(1-y^2)+6yexp(1-y^2)(-2y)-18y^2exp(1-y^2)-6y^3exp(1-y^2)(-2y)  \) que evaluado en \(  y=1  \) da \(  -12<0  \). Por lo tanto \(  y=1  \) es un máx local en el plano \(  x=0  \) .

Algo parecido hace con en plano \(  y=1  \) y establece que en \(  x=0  \)  \(  z=3  \) ademas que en dicho x hay un máx local en el plano y=1.

Cómo llegar a que en   \(  z=3  \) se alcanza en con \(  (0,\pm{1})  \) es lo que vi con Ingmarov.


No sé si ésta demostración está bien hecha debido a que de antemano el autor sabe en que planos están los máximos. Algún breve comentario por favor.

Gracias ingmarov y Luis Fuentes

Saludos.

A ver sustituyendo por polares

\[ x=r cos(\theta),\quad y=r sen(\theta) \]

Entonces \[ z=r^2(1+2sen^2(\theta))e^{1-r^2} \]

Si r es constante, r=k (circunferencia de radio k). En esa circunferencia z será máxima cuando \[ \theta=\pm \dfrac{\pi}{2} \] lo cual corresponde al plano x=0 (plano yz). Es decir si escogemos cualquier valor para r, tendremos un valor máximo de z siempre para esos ángulos.

Luego revisando el comportamiento de z en ese plano x=0. debes encontrar los máximos locales de z, o el absoluto, Si son máximos locales  implica que no hay puntos mayores que ellos a su alrededor y si tenemos un máximo absoluto entonce no hay puntos mayores a él (el máximo valor para z) . Y si los máximos locales son z=3  y no hay máximo absoluto, esos puntos máximos son los únicos contenidos en la curva de nivel z=3..

Si los máximos locales, o el absoluto son mayores que 3, entonces la curva de nivel tendrá infinitos puntos.

Espero te ayude

Saludos
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12 Octubre, 2020, 10:21 pm
Respuesta #7

Albersan

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Gracias ingmarov, en coordenadas polares me ha quedado mucho más claro. Genial, muchas gracias nuevamente.

Saludos.