Autor Tema: Números primos y más.

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14 Octubre, 2020, 03:45 pm
Respuesta #10

ciberalfil

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Tratando de encontrar alguna pista que me permita determinar los valores minimo, \( m \), y máximo, \( M \), del parámetro \( d_3 \), según los anteriormente publicado, me encontre con una curiosidad que yo al menos no conocía. Al establecer la sucesión:

\( {P(2n)_i} \)

de los valores del contador que mide el número de primos que satisfacen la conjetura de Goldbach para un determinado número par, \( 2n \), observé que aunque la sucesión presenta altibajos y oscila de forma impredecible los términos de dicha sucesión presentan un pico muy bien marcado cuando \( n \) es múltiplo de 3, o bien \( 2n \) múltiplo de 6. Es decir dichos términos presentan un valor curiosamente elevado frente a los otros cuatro números de su entorno que no son múltiplos de 6. No sé si hay alguna razón para ello pero nunca he leído nada relativo a semejante fenómeno. ¿Alguien sabe algo? La verdad que no veo una razón para ello. Quizás fuera más fácil trabajar con la sucesión de los picos para estimar la forma en que crece:

\( {P(6n)_i} \)

Por otro lado encontré también una sucesión que se comporta de forma parecida, me refiero a la sucesión del contador de los divisores de un número natural:

\( {\delta (n)}_i \)

Esta es una sucesión que presenta también muchos altibajos y oscila de forma impredecible, aunque en este caso en lugar de conocerse los picos se conocen los valles, puesto que cada vez que \( n \) es primo el número de divisores se reduce a 2 y por lo tanto el término correspondiente de la sucesión es valle.

Son dos sucesiones muy curiosas que oscilan de forma similar y probablemente no pueda establecerse la ley que las rige para ninguna de las dos, aunque, claro está, cada una con sus propias peculiaridades.

Salu2

14 Octubre, 2020, 05:07 pm
Respuesta #11

geómetracat

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Tratando de encontrar alguna pista que me permita determinar los valores minimo, \( m \), y máximo, \( M \), del parámetro \( d_3 \), según los anteriormente publicado, me encontre con una curiosidad que yo al menos no conocía. Al establecer la sucesión:

\( {P(2n)_i} \)

de los valores del contador que mide el número de primos que satisfacen la conjetura de Goldbach para un determinado número par, \( 2n \), observé que aunque la sucesión presenta altibajos y oscila de forma impredecible los términos de dicha sucesión presentan un pico muy bien marcado cuando \( n \) es múltiplo de 3, o bien \( 2n \) múltiplo de 6. Es decir dichos términos presentan un valor curiosamente elevado frente a los otros cuatro números de su entorno que no son múltiplos de 6. No sé si hay alguna razón para ello pero nunca he leído nada relativo a semejante fenómeno. ¿Alguien sabe algo? La verdad que no veo una razón para ello.

Tiene bastante sentido. Una explicación heurística es la siguiente. Si nos olvidamos del \( 2 \) y del \( 3 \), cada primo es o bien de la forma \( 6k+1 \) o bien de la forma \( 6k-1 \). Además, para \( n \) grande, más o menos la mitad de los primos menores que \( n \) son de la forma \( 6k+1 \) y la otra mitad de la forma \( 6k-1 \).
Ahora, si \( 2n \) es múltiplo de \( 6 \) y es suma de dos primos \( p+q=2n \), necesariamente uno de ellos es de la forma \( 6k+1 \) y el otro de la forma \( 6k-1 \). En cambio, si \( 2n \) no es múltiplo de \( 6 \) (y por tanto es de la forma \( 6k+2 \) o \( 6k+4 \)), los dos primos \( p,q \) deben ser del mismo tipo, ambos \( 6k+1 \) o ambos \( 6k-1 \), de manera que tienes muchos menos números con los que jugar.
Es decir, si \( 2n \) es múltiplo de \( 6 \) podrías tener hasta aproximadamente \( \pi(2n)/2 \) pares de primos que sumen \( 2n \) (tantos como primos de la forma \( 6k+1 \)). En cambio, si no es múltiplo de \( 6 \) como mucho podrás tener aproximadamente \( \pi(2n)/4 \) pares.

Citar
Por otro lado encontré también una sucesión que se comporta de forma parecida, me refiero a la sucesión del contador de los divisores de un número natural:

\( {\delta (n)}_i \)

Esta es una sucesión que presenta también muchos altibajos y oscila de forma impredecible, aunque en este caso en lugar de conocerse los picos se conocen los valles, puesto que cada vez que \( n \) es primo el número de divisores se reduce a 2 y por lo tanto el término correspondiente de la sucesión es valle.

De esta creo que se saben muchas más cosas que de la anterior. Por ejemplo, no es difícil dar una fórmula para los divisores de \( n \) sabiendo la factorización en primos de \( n \). En cambio para la de Goldbach no hay nada parecido. La cuestión es que la función que cuenta divisores hace referencia a un problema puramente multiplicativo (número de divisores de un número dado), que suele ser mucho más sencillo de tratar que los problemas que mezclan estructura multiplicativa (primos) con aditiva (sumas). Si miras la página de la wikipedia inglesa "divisor function" salen muchas propiedades.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Octubre, 2020, 06:01 pm
Respuesta #12

ciberalfil

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Muchas gracias geometracat, tu explicación de la primera me satisface, aunque la debo explorar un poco más a ver si le puedo sacar algo más de jugo.

Salu2  ;)

14 Octubre, 2020, 09:24 pm
Respuesta #13

Pie

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Lo único que se me ocurre sobre todo esto es que debería de ser más "fácil" probar la conjetura de Goldbach para pares múltiplos de 6 no? (no sé si ya hay algún intento o demostración en ese sentido)..

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

14 Octubre, 2020, 09:41 pm
Respuesta #14

ciberalfil

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Gracias Pie, ya lo había pensado y lo tengo en cartera pero de momento se me está amontonando la faena y mi tiempo es limitado. Probablemente sí tengas razón, pero creo que la única ventaja es que el programa irá más rápido pero las conclusiones serían parecidas, a no ser que encontráramos otra curiosidad que nos facilite aún más el trabajo.

Salu2

15 Octubre, 2020, 11:32 am
Respuesta #15

feriva

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Tratando de encontrar alguna pista que me permita determinar los valores minimo, \( m \), y máximo, \( M \), del parámetro \( d_3 \), según los anteriormente publicado, me encontre con una curiosidad que yo al menos no conocía. Al establecer la sucesión:

\( {P(2n)_i} \)

de los valores del contador que mide el número de primos que satisfacen la conjetura de Goldbach para un determinado número par, \( 2n \), observé que aunque la sucesión presenta altibajos y oscila de forma impredecible los términos de dicha sucesión presentan un pico muy bien marcado cuando \( n \) es múltiplo de 3, o bien \( 2n \) múltiplo de 6. Es decir dichos términos presentan un valor curiosamente elevado frente a los otros cuatro números de su entorno que no son múltiplos de 6. No sé si hay alguna razón para ello pero nunca he leído nada relativo a semejante fenómeno. ¿Alguien sabe algo?


Sí, eso también lo observé yo y lo comenté con sqrmatrix y Víctor Luis en el hilo ese que sale en mis respuestas enlazado abajo (no sé dónde, porque es muy largo).

Mirando ahora, quizá se puede explicar también así:

Se puede observar que la cantidad de coprimos de 1 hasta “6n” es menor que la que existe de 1 hasta “6n+2” y también menor que la que hay de 1 hasta “6n+4”:

Spoiler
n = 6 cantidad de coprimos= 2 (m. de 6)
n = 8 cantidad de coprimos= 4
n = 10 cantidad de coprimos= 4
n = 12 cantidad de coprimos= 4 (m. de 6)
n = 14 cantidad de coprimos= 6
n = 16 cantidad de coprimos= 8
n = 18 cantidad de coprimos= 6 (m. de 6)
n = 20 cantidad de coprimos= 8
n = 22 cantidad de coprimos= 10
n = 24 cantidad de coprimos= 8 (m. de 6)
n = 26 cantidad de coprimos= 12
n = 28 cantidad de coprimos= 12
n = 30 cantidad de coprimos= 8 (m. de 6)
n = 32 cantidad de coprimos= 16
n = 34 cantidad de coprimos= 16
n = 36 cantidad de coprimos= 12 (m. de 6)
n = 38 cantidad de coprimos= 18
n = 40 cantidad de coprimos= 16
n = 42 cantidad de coprimos= 12 (m. de 6)
n = 44 cantidad de coprimos= 20
n = 46 cantidad de coprimos= 22
...
[cerrar]

Esto es lógico, puesto que los múltiplos de 2 y 3 están a esas distancias cortas (2 y 3) lo que conlleva que sean más densos que los múltiplos de otros primos mayores.

Implica otra cosa más. Los primos que suman el par (parejas Goldbach) son todos coprimos con el par salvo en el caso de que el par sea un semiprimo (un par del tipo 2p); y, además, en ese caso sólo hay esa pareja: p+p, las demás son todas de coprimos.
Salvo para los números pequeños, la cantidad de compuestos, de 1 hasta un 2n cualquiera, es mayor que la de primos; y entonces, normalmente, también van a ser más los coprimos no primos que los primos. Ello hace que al emparejarse muchos de esos compuestos con primos “gasten” más la cantidad de primos útiles para formar parejas Goldbach.
Por otra parte, cuando hay menos cantidad de coprimos, la proporción de primos coprimos suele ser un poco menos baja respecto de los compuestos  coprimos; con lo que los primos tienen más fácil el formar pareja con otros primos, se “gastan” menos.

Saludos.

15 Octubre, 2020, 12:51 pm
Respuesta #16

ciberalfil

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Feriva, he leído ya tu mensaje varias veces y ... no, decididamente no llego al final, son demasiados primos, semiprimos y coprimos, ufff.
Estaré algo espeso.

Por cierto estoy viendo ya la sucesión de primos de Goldbach para múltiplos de 6, \( P(6n)_i \), y efectivamente se muestran valores más altos, pero también tiene esta sucesión picos más altos y otros más bajos, aunque esta vez no aparecen las regularidades que se mostraban en la serie de pares completa, \( P(2n)_i \).

Salu2.

15 Octubre, 2020, 03:22 pm
Respuesta #17

feriva

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Feriva, he leído ya tu mensaje varias veces y ... no, decididamente no llego al final, son demasiados primos, semiprimos y coprimos, ufff.
Estaré algo espeso.

Por cierto estoy viendo ya la sucesión de primos de Goldbach para múltiplos de 6, \( P(6n)_i \), y efectivamente se muestran valores más altos, pero también tiene esta sucesión picos más altos y otros más bajos, aunque esta vez no aparecen las regularidades que se mostraban en la serie de pares completa, \( P(2n)_i \).

Salu2.

Tal y como lo he dicho sí que es un poco galimatías :D

Vamos a tomar un múltiplo de 6, como 18, por ejemplo:

\( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18
  \)

18 es múltiplo de dos primos distintos, 2 y 3. Como todos los pares son múltiplos de 2, no son coprimos con 18; y los de tres tampoco. Entonces voy a marcar en azul todos esos múltiplos

\( 1,{\color{blue}2},{\color{blue}3},{\color{blue}4},5,{\color{blue}6},7,{\color{blue}8},{\color{blue}9},{\color{blue}10},11,{\color{blue}12},13,{\color{blue}14},{\color{blue}15},{\color{blue}16},17,{\color{blue}18}
  \).

Tenemos los coprimos sin marcar, que son estos seis: 1,5,7,11,13,17.

Fíjate en que los no corpimos, los doce restantes, son muy densos en comparación. Esto es debido a que los múltiplos de 2 están muy cerca entre ellos y los de 3 también están muy cerca (como hablamos de números pares para la conjetura, 18 en este caso, pues los pares siempre van a ser no coprimos; vamos a fijarnos en los múltiplos de 3 para ver la diferencia).

Ahora tomo el par 20, que es múltiplo de los primos 2 y 5; y hago lo mismo:

\( 1,{\color{blue}2},3,{\color{blue}4},{\color{blue}5},{\color{blue}6},7,{\color{blue}8},9,{\color{blue}10},11,{\color{blue}12},13,{\color{blue}14},{\color{blue}15},{\color{blue}16},17,{\color{blue}18},19,{\color{blue}20}
  \)

Hay menos densidad porque los múltiplos de 5 están más alejados entre ellos; esto es, proporcionalmente, siempre van a caber menos múltiplos de 5 que de 3, y menos aún de 7... etc. Por eso, a pesar de ser un par 2 unidades mayor que 18, tenemos la misma cantidad de no coprimos que antes y, a cambio, más cropimos; son ocho: 1,3,7,9,11,13,17,19.

Ahora veamos cuántos primos hay entre los 8 coprimos; son 6, la proporción 8/6.

Antes teníamos estos 6 coprimos 1,5,7,11,13,17 de los cuales 5 son primos, la proporción de primos es mayor 6/5

Siendo así, es más fácil que se formen parejas (primo, primo). Solo tienes que observarlo con algunos ejemplos más, si lo miras verás que en los no múltiplos de 6 hay proporcionalmente más parejas (primo, compuesto) que en los múltiplos de 6 debido a eso.

Por añadidura, es lógico por esto otro:

Todas las parejas posibles que suman veinte (con los dos números que sean) son así

\( (n-k)+(n+k)=2n
  \); con \( k\in\{0,1,2,3...\}
  \)

\( {\color{blue}0},1,{\color{blue}2},3,{\color{blue}4},{\color{blue}5},{\color{blue}6},7,{\color{blue}8},9,{\color{magenta}(}{\color{blue}10}{\color{magenta})},11,{\color{blue}12},13,{\color{blue}14},{\color{blue}15},{\color{blue}16},17,{\color{blue}18},19,{\color{blue}20}
  \)

Observa que los coprimos, suman el par con coprimos y los no coprimos con no coprimos; son simétricos:

9+11=20; 7+13=20; 3+17=20; 1+19=20

Esto es fácil de demostrar:

Spoiler

\( a+b=m
  \) (donde m es el par)

\( b=m-a
  \)

Si “a” tuvieran un factor común con “m,” entonces existiría un entero k tal que \( m=kx
  \) y \( a=ky
  \); y tendríamos

\( b=kx-ky
  \)

\( b=k(x-y)
  \)

y entonces

\( \dfrac{b}{k}=(x-y)
  \) implica que “k” divide a “b” (porque x-y es entero) y, por tanto, “k” es factor también de “b”; con lo que los tres números, a,b,m, tienen un factor común y, por definición al ocurrir eso, no son coprimos. De ahí que los no coprimos sólo sumen con no coprimos y viceversa.

[cerrar]

Ahora, si tomo 18 y 20, observa que la cantidad de primos que hay hasta 20 nunca puede mayor de un primo más; por tanto, aunque baje la densidad de coprimos, la de primos no baja (cierto es que hay que tener en cuenta que hablamos de primos coprimos, no de primos no coprimos, pero eso parece no influir demasiado a tenor de lo que se observa). De ahí que, cuando hay menos coprimos, la proporción de primos sea menos baja respecto de los compuestos copimos.

Saludos.

15 Octubre, 2020, 07:41 pm
Respuesta #18

ciberalfil

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Bueno, gracias por ayudarme a entenderlo, lo tengo algo más claro. Estoy ahora trabajando con dos sucesiones, una con el contador de divisores y otra con el de primos de Goldbach, pero he impuesto la condición de que dichas sucesiones sean monótonas crecientes, estrictamente crecientes, de manera que dichas sucesiones solo contienen los valores de pico, los otros no aparecen. Y las dos sucesiones son muy robustas, crecen muy rápidamente y el valor:

\( \displaystyle d=log_n c=\frac{log c}{log n} \)

parece estabilizarse en ambas. En la primera, divisores, decrece hasta un valor que está en el entorno de 0'37 y en la segunda, Goldbach, crece hasta un valor  que está en el entorno de 0'73. Sin demostración no hay garantías de que acaben convergiendo pero ... parecerlo lo parece.

Os incluyo un adjunto que contiene una imagen de lo que estoy haciendo, una muestra de los datos que he obtenido.



Si abris el adjunto lo veis a tamaño real.

Salu2

 

16 Octubre, 2020, 09:54 am
Respuesta #19

feriva

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Bueno, gracias por ayudarme a entenderlo, lo tengo algo más claro. Estoy ahora trabajando con dos sucesiones, una con el contador de divisores y otra con el de primos de Goldbach, pero he impuesto la condición de que dichas sucesiones sean monótonas crecientes, estrictamente crecientes, de manera que dichas sucesiones solo contienen los valores de pico, los otros no aparecen. Y las dos sucesiones son muy robustas, crecen muy rápidamente y el valor:

Hay otra cosa, aparte de la función \( \pi(n)
  \), para calcular un mínimo de primos; pero es un mínimo con mucho más error que el de esa función, da todavía muchos menos primos de los que en realidad hay. Sin embargo, imagino que no impide poder buscar y encontrar alguna constante o algún límite con ello. Quizá te interese probar también a ver.

Lo que digo es el postulado de Bertrand, que reza que entre dos números naturales “m” y “2m” siempre hay al menos un primo (de este postulado existe una demostración “fácil”, usando métodos elementales).

La cuestión entonces es sencilla; entre 2 y 4, hay al menos un primo, entre 4 y 8 otro más, entre 8 y 16 otro...

Si consideramos n=74, por poner un caso, la potencia de 2 más grande, hasta 74, saldrá entonces de la parte entera de esto \( 2^{k}=74\Rightarrow k=\dfrac{log74}{log2}
  \).

La parte entera es 6; y de 1 hasta 74 habrá como mínimo 6 primos (por Bertrand).

Y, claro, en general para cualquier número “n” será \( k=\dfrac{log(n)}{log2}
  \), obviamente.

Como se ve, es una aproximación muy mala, la función pi da 17 primos y la cantidad real es 21 primos. Pero para buscar si existe una convergencia en algunas cosas, ya sea considerando divisores, parejas Goldbach...  yo creo que quizá serviría también.

Saludos.