Autor Tema: Espacios vectoriales

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09 Octubre, 2020, 05:37 pm
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TheMagi

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Considere el conjunto \( P_3 \)\( (\mathbb{R)} \) de todos los polinomios con coeficientes reales de grado a lo mas 3, con las operaciones usuales. ¿Es \( (1,x+1,x^2+x+1,x^3+x^2+x+1) \) una base de este espacio vectorial?

09 Octubre, 2020, 05:56 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola TheMagi.

Cuidado con la notación. Tal como lo escribiste sería un vector cuyas componentes son polinomios:

     \( (1,x+1,x^2+x+1,x^3+x^2+x+1) \)

Para denotar un conjunto debes usar llaves { y }:

    \( \{1,x+1,x^2+x+1,x^3+x^2+x+1\} \)

Para verificar que es base lo primrero a es tener 4 "vectores" (en este caso polinomios), porque la dimensión de \( P_3(\mathbb{R}) \) es 4. Como el conjunto tiene 4 elementos, el conjunto efectivamente puede ser base.

Para demostrar que es base tendrías que verificar que son "vectores" (polinomios) linealmente independientes, directo de la definición:

sean \( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\in\mathbb{R} \).

    \( \alpha_1+\alpha_2(x+1)+\alpha_3(x^2+x+1)+\alpha_4(x^3+x^2+x+1)=0 \)

    \( \Leftrightarrow (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)+(\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)x+(\alpha_3+\alpha_4)x^2+\alpha_4x^3=0 \)

    \( \Leftrightarrow \)
    \( \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0 \)
    \( \alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0 \)
    \( \alpha_3+\alpha_4=0 \)
    \( \alpha_4=0 \)

Para que sea linealmente independiente tienes que probar que \( \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0 \), es decir, debes probar que la única solución del sistema es la nula.

La forma general para analizar si el sistema de ecuaciones anterior tiene única solución  es calcular el rango de la matriz de coeficientes. Pero en este caso es mucho más fácil, porque de la última ecuación \( \alpha_4=0 \) (no hay otra opción), reemplazando en la penúltima ecuación obtienes \( \alpha_3=0 \) (no hay otra opción), reemplazando en la segunda ecuación obtienes \( \alpha_3=0 \) (no hay otra opción) y reemplazando estos valores en la primera ecuación obtienes \( \alpha_1=0 \) (no hay otra opción).

Por tanto \( \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0 \) es la única solución del sistema, y por tanto los vectores son linealmente independientes, y por tanto el conjunto es efectivamente una base.