Autor Tema: Estudia si $$|4x-2|\leq 14$$ cuando $$|x|\leq 3$$.

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07 Octubre, 2020, 09:46 pm
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w a y s

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Hola, he resuelto este problema pero tengo una duda en si mi razonamiento es correcto al final de la demostración. Mi solución dice así:

  Supongamos que $$|x|\leq 3$$, entonces por las propiedades del valor absoluto se tiene que $$-3 \leq x \leq 3$$. Multiplicando la inecuación por $$4$$ se tiene que
  $$-12\leq 4x\leq 12$$. Sumando (-2) se tiene que $$-14 \leq 4x-2 \leq 10$$. Puesto que $$10<14$$ deducimos que $$-14 \leq 4x-2 < 14$$. Así que podemos decir
  que $$-14\leq 4x-2 \leq 14$$ y concluimos que $$|4x-2|\leq 14$$, que es lo que queríamos probar.

Mi duda está en si el último razonamiento que he utilizado es correcto, ¿podría alguien , por favor, ayudarme?

Muchas gracias de antemano, un saludo.

CORREGIDO ( gracias geómetracat)

07 Octubre, 2020, 09:50 pm
Respuesta #1

w a y s

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Muchas gracias, geómetracat, por tu ayuda.

07 Octubre, 2020, 09:51 pm
Respuesta #2

geómetracat

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Perdona me despisté. En un momento dado pasas de desigualdades con \( \leq  \) a desigualdades estrictas (cuando sumas \( -2 \)). Eso está mal. Por lo demás está bien.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Octubre, 2020, 10:06 pm
Respuesta #3

w a y s

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Hola geómetracat, ya lo he corregido,¿está bien así?

07 Octubre, 2020, 10:10 pm
Respuesta #4

geómetracat

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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Octubre, 2020, 11:05 pm
Respuesta #5

w a y s

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Hola, 

Perdona me despisté. En un momento dado pasas de desigualdades con \( \leq  \) a desigualdades estrictas (cuando sumas \( -2 \)). Eso está mal. Por lo demás está bien.

disculpa mi insistencia pero he seguido pensando en el problema y me ha surgido una duda, ¿ por qué está mal esto?

Un saludo.

07 Octubre, 2020, 11:12 pm
Respuesta #6

geómetracat

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De \( -12 \leq 4x \leq 12 \) no puedes pasar a \( -14 < 4x-2<10 \).
Por ejemplo, imagina que \( x=3 \). Entonces cumple la primera desigualdad (pues \( 4x=12 \)), pero no la segunda (pues \( 4x-2=10 \)).

En general sumar (o restar) algo a ambos lados de una desigualdad preserva la desigualdad, pero siempre del mismo tipo (\( \leq o < \)). No puedes pasar de \( \leq \) a \( < \). (Al revés sí, ya que si \( a \
< b \) también \( a\leq b \)).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Octubre, 2020, 11:14 pm
Respuesta #7

robinlambada

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Hola, 

Perdona me despisté. En un momento dado pasas de desigualdades con \( \leq  \) a desigualdades estrictas (cuando sumas \( -2 \)). Eso está mal. Por lo demás está bien.

disculpa mi insistencia pero he seguido pensando en el problema y me ha surgido una duda, ¿ por qué está mal esto?

Un saludo.

Muy fácil , toma este ejemplo \( 4\leq{}2+2 \) , restando 2: \( 4-2<2+2-2 \) entonces \( 2<2 \) no tiene sentido.

Pero si se puede pasar de \(  < \) a\( \leq{} \) ,como ejemplo \( 3<4\Rightarrow{}3-2\leq{}4-2 \), sigue siendo válido.

Saludos.
p.d.: Se me adelanto geometracat
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

07 Octubre, 2020, 11:20 pm
Respuesta #8

w a y s

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Ya lo he entendido, muchas gracias a ambos por haberme ayudado.

08 Octubre, 2020, 04:02 am
Respuesta #9

mathtruco

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No quiero parecer pedante. Lo expuesto está correcto, y la redacción es algo muy personal. Pero al menos a mí me agrada más evitar palabras cuando no es necesario. Por ejemplo, este problema lo escribiría así

    \( |x|\leq 3\Leftrightarrow -3\leq x\leq 3 \)

                   \( \Leftrightarrow -12\leq 4x\leq 12 \)

                   \( \Leftrightarrow -14\leq 4x-2\leq 10 \)

                   \( \Rightarrow -14\leq 4x-2\leq 14 \)

                   \( \Leftrightarrow |4x-2|\leq 14 \)

Pero es cosa de gustos, claro.