Autor Tema: Resolver $$\sqrt{x}-x+2=0.$$

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

07 Octubre, 2020, 08:42 pm
Respuesta #10

manooooh

  • $$\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 3,038
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Entonces, ¿puedo aplicar transformaciones a la igualdad anterior aunque el resultado de estas sea una expresión no equivalente con al inicial? Me explico, hacer esto,

\( \sqrt{x}=x-2 \Rightarrow x=(x-2)^{2} \) no es erróneo siempre que, cuando obtenga las soluciones de la ecuación compruebe cuáles son válidas en la inicial puesto que \( \sqrt{x}=x-2 \not \Leftrightarrow x=(x-2)^{2} \).

Por favor, corrígeme si me equivoco.

Está bien. Ambas ecuaciones no son equivalentes hasta tanto y en cuanto compruebes la totalidad de las candidatas a soluciones.

Muchas veces pasa esto de "algunas soluciones sobran", incluso a veces puedes encontrar ecuaciones que se resuelvan y "falten" soluciones. Por ejemplo si quiero resolver \( x^2=x \) y divido por \( x \), debo tener cuidado de poner "Divido por \( x \) con \( x\neq0 \)", y de ahí veo que \( x=1 \) es solución, ¡pero no es la única! La que falta es \( x=0 \). Es por el método que utilicé donde tengo que tener cuidado. La forma más elegante de resolver \( x^2=x \) sería pasar a un lado \( x^2-x=0 \) y sacar factor común.

Saludos

07 Octubre, 2020, 08:45 pm
Respuesta #11

w a y s

  • $$\pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 103
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola, ya lo he entendido , muchas gracias a los tres por vuestra ayuda.

07 Octubre, 2020, 09:31 pm
Respuesta #12

ciberalfil

  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 327
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
En general elevar al cuadrado una ecuación tiene al menos un inconveniente:

Imagina las dos siguientes ecuaciones:

\( A=\pm{}B \)

de las cuales solo una es cierta, la que quieras. Si elevamos al cuadrado dicha ecuación (la que es verdadera) se tiene:

\( A^2=B^2 \)

que tiene dos soluciones \( A=\pm{}B \) una es correcta pero la otra no. Es decir, al elevar al cuadrado la ecuación inicial has introducido una solución que es falsa. ¿lo ves?, esto suele pasar si no andas listo, y muchas veces no lo ves. Son las cosas de manejar ecuaciones con demasiada alegría.

En general siempre puedes hacer la misma operación en ambos miembros de una igualdad sin que cambie la ecuación, sumar o restar una cantidad, multiplicar por un factor no nulo, etc. Pero ¡ojo! hay cosas que no se pueden hacer sin tomar precauciones, como por ejemplo elevar al cuadrado (porque introduces nuevas soluciones) o incluso multiplicar o dividir por una expresión que sea nula porque introduces demasiadas soluciones (infinitas). ¡Cuidadin, cuidadin!

Salu2  ;)

07 Octubre, 2020, 09:59 pm
Respuesta #13

w a y s

  • $$\pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 103
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola ciberalfil, sí , lo veo. Mi problema era que no conocía si la expresion $$\sqrt{x}-x+2$$ era negativa o positiva. Y claro, yo creía que estaba terminantemente prohíbido utilizar este tipo de transformaciones en estos casos, tal como ocurre con las inecuaciones si no tomamos precauciones antes, pero ya me ha quedado todo mucho más claro. Gracias por tu ayuda.

07 Octubre, 2020, 11:34 pm
Respuesta #14

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,903
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Parasitando a los demas foreros (en especial a ciberalfil) tenemos:
\( x = t^2 = |t|^2  \) entonces:
\( \sqrt{x} - x + 2 = 0 = |t| - |t|^2 + 2  \) hacemos \( |t| = u  \) queda \(  -u^2 + u +2 = 0 \)
Resolvemos y queda \( \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (-1) \cdot 2}}{-2} = \dfrac{1 \mp  3}{2}  \)
Tenemos \( u=-1 \) y \( u=2 \) como \( u = |t| \) tenemos que \( -1 \) no es solución entonces \( u= |t| = 2  \) al ser \( x = |t|^2 \) tenemos   \( x = 4  \)

08 Octubre, 2020, 12:16 am
Respuesta #15

ciberalfil

  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 327
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Bueno, sí, es lo mismo que hice yo, o parecido si me apuras. Casi siempre hay diversas formas de resolver este tipo de dificultades, pero cuando se trata de explicarselo a alguien que está iniciándose conviene usar siempre los argumentos más sencillos, al menos yo lo procuro. ¿Hace falta usar  \( |t| \) para hacer esto? Yo diría que no, pero está bien, tan válida como la mía como mínimo. Alguien que se lía con los signos de la raíz cuadrada quizás se lie más si además le añades un módulo por ahí enmedio.

Salu2.

08 Octubre, 2020, 12:31 am
Respuesta #16

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,903
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Justamente uso \( |t| = u  \geq  0  \) para que no se produzca lío en los signos.
Sólo era una aportación.
Saludos.

08 Octubre, 2020, 03:46 am
Respuesta #17

mathtruco

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,990
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • El gran profesor inspira
Planteo una forma más cuadrada de resolver la inecuación.

Hola, me gustaría saber como resolver la ecuación :

 
\( \sqrt{x}-x+2=0. \)


La ecuación es equivalente a:

  \( \sqrt{x}=x-2 \)

Esta expresión sólo tiene sentido si \( x\geq 0 \) y si \( x-2\geq 0 \), es decir, buscamos \( x\in R_0:=[0,\infty[\,\cap [2,\infty[\;=[2,\infty[ \) tal que

  \( \sqrt{x}=x-2 \)

Ahora, si \( x\in R_0 \) no tenemos problemas con escribir la equivalencia

  \( \sqrt{x}=x-2\quad\Leftrightarrow\quad x=(x-2)^2\quad\Leftrightarrow\quad \dots\quad x\in\{-1,2\} \).

Y la solución es  \( x\in\{-1,2\}\cap R_0=\{2\} \).

Con esto nos evitamos tener que verificar que si a lo que llegamos es solución del problema inicial (en el fondo es lo mismo).


Recomiendo siempre hacer todas las restricciones al inicio del problema, porque en ocasiones podemos determinar enseguida que el problema no tiene solución.