Autor Tema: Resolver $$\sqrt{x}-x+2=0.$$

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07 Octubre, 2020, 07:24 pm
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w a y s

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Hola, me gustaría saber como resolver la ecuación :

 
\( \sqrt{x}-x+2=0. \)

La verdad es que no tengo ni idea de cómo operarla. ¿Podría alguien darme una pista por favor?

Muchas gracias de antemano, saludos.

07 Octubre, 2020, 07:33 pm
Respuesta #1

geómetracat

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\( \sqrt{x}=x-2 \)
Si ahora elevas al cuadrado:
\( x=(x-2)^2 = x^2 -4x+4 \)
Luego te queda:
\( x^2-5x+4=0 \)
Si resuelves la ecuación obtienes las dos soluciones \( x_1=1, x_2=4 \).

Pero ojo, no hemos acabado pues hay que comprobar si son solución de la ecuación inicial.
Si ahora vuelves a la ecuación original, puedes comprobar que la única solución es \( x=4 \). La otra solución no resuelve la ecuación original (puesto que \( \sqrt{x} \) es la raíz positiva).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Octubre, 2020, 07:37 pm
Respuesta #2

w a y s

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Hola geómetracat, una duda, elevar ambos miembros de la ecuación al cuadrado introduce nuevas soluciones a la ecuación,¿ no significa eso que en este caso no puedo realizar esa transformación?,
es decir como no sé si \( \sqrt{x}-x+2>0 \), ¿no sería erróneo elevar ambos miembros al cuadrado?

Muchas gracias por tu ayuda.

07 Octubre, 2020, 07:59 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Hola geómetracat, una duda, elevar ambos miembros de la ecuación al cuadrado introduce nuevas soluciones a la ecuación,¿ no significa eso que en este caso no puedo realizar esa transformación?,
es decir como no sé si \( \sqrt{x}-x+2>0 \), ¿no sería erróneo elevar ambos miembros al cuadrado?

¿A qué te refieres si "elevar al cuadrado es erróneo"? Explícalo mejor.

Ese método es muy utilizado para resolver las ecuaciones. Será erróneo en la medida que no verifiques las candidatas a soluciones, porque puede ser que hayan aparecido "soluciones" que no son tal, como ha ocurrido en el ejemplo. Por eso de las posibles soluciones se seleccionan las que verifiquen la ecuación original.

Saludos

P.D. Por cierto, hace un día vi un video en YouTube sobre cómo se resuelven inecuaciones con valores absolutos combinados, y se me ocurrió resolver una pero ahora no recuerdo cuál era, pero creo que ésta puede funcionar: \( |||x|-1|-9|<5 \). ¿Te atreves a ver si hay "soluciones" falsas o todas sirven? :P

07 Octubre, 2020, 08:08 pm
Respuesta #4

w a y s

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Hola manooooh, disculpa si no me he expresado con la suficiente claridad. Con "erróneo" me refiero a que en este caso, yo no podría elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad, ya que desconozco si \( \sqrt{x}-x+2>0 \) o bien si \( \sqrt{x}-x+2<0 \), de manera que estaría aplicando una transformación no invertible y por lo tanto introduciendo soluciones no válidas como ocurre en este caso, ¿me equivoco?.

Respecto a tu reto, como ya se habrá denotado, yo no se mucho de inecuaciones, pero igualmente me gustaría intentarlo y ver que ocurre. Así que lo probaré y te contaré.

Perdonad mi insistencia, pero creo que aún no lo tengo claro, muchas gracias a ambos.

07 Octubre, 2020, 08:18 pm
Respuesta #5

manooooh

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Hola

Hola manooooh, disculpa si no me he expresado con la suficiente claridad. Con "erróneo" me refiero a que en este caso, yo no podría elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad, ya que desconozco si \( \sqrt{x}-x+2>0 \) o bien si \( \sqrt{x}-x+2<0 \), de manera que estaría aplicando una transformación no invertible y por lo tanto introduciendo soluciones no válidas como ocurre en este caso, ¿me equivoco?.

Hablando pronto, piensa que cuando elevas al cuadrado vas en un sentido usando el \( \implies \), y como no son equivalencias entonces puedes tener soluciones extra. Para que en todos los pasos puedas usar equivalencias y no \( \implies \), sólo debes verificar en la ecuación original. Cuando hayas descartado las que no verifiquen, podrás poner equivalencias.

Respecto a tu reto, como ya se habrá denotado, yo no se mucho de inecuaciones, pero igualmente me gustaría intentarlo y ver que ocurre. Así que lo probaré y te contaré.

Ah, perdona, no sabía que estabas estudiando estas cosas. No te preocupes, solamente quería darte la noción de "repetición" para resolver ese tipo de inecuaciones, pero no viene a cuento :).

Saludos

Agregado

07 Octubre, 2020, 08:19 pm
Respuesta #6

ciberalfil

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Puedes hacerlo también de otra forma:

\( \sqrt[ ]{x}=x-2 \)

Haciendo \( x=t^2 \) se tiene:


\( t=t^2-2\quad\Rightarrow{}\quad t^2-t-2=0 \)


de raíces -1 y 2. Pero solo vale la raíz positiva porque en la ecuación inicial solo aparece:


\( t=+\sqrt[ ]{x}\quad \Rightarrow{}\quad t>0 \)



Luego:


\( t=2:x=4 \)


Observa que si la ecuación inicial hubiera sido:


\( -\sqrt[ ]{x}=x-2 \)


la solución hubiera sido:


\( t<0\quad\Rightarrow{}\quad t=-1:x=1 \)


Salu2

07 Octubre, 2020, 08:28 pm
Respuesta #7

geómetracat

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Es lo que dice manooooh: elevar al cuadrado puede introducir ecuaciones, pero no las elimina. Es decir, las soluciones de la ecuación original son un subconjunto de las que obtienes después de tomar el cuadrado. Por tanto, puedes usarlo siempre que al final descartes las soluciones que no son solución de la ecuación original.

Si este método no te gusta, una muy buena alternativa es la que propone ciberalfil.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Octubre, 2020, 08:33 pm
Respuesta #8

w a y s

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Hola,

Hablando pronto, piensa que cuando elevas al cuadrado vas en un sentido usando el \( \implies \), y como no son equivalencias entonces puedes tener soluciones extra. Para que en todos los pasos puedas usar equivalencias y no \( \implies \), sólo debes verificar en la ecuación original. Cuando hayas descartado las que no verifiquen, podrás poner equivalencias.

Entonces, ¿puedo aplicar transformaciones a la igualdad anterior aunque el resultado de estas sea una expresión no equivalente a la inicial? Me explico, hacer esto,

\( \sqrt{x}=x-2 \Rightarrow x=(x-2)^{2} \) no es erróneo siempre que, cuando obtenga las soluciones de la ecuación compruebe cuáles son válidas en la inicial puesto que \( \sqrt{x}=x-2 \not \Leftrightarrow x=(x-2)^{2} \).

Por favor, corrígeme si me equivoco.

Ah, perdona, no sabía que estabas estudiando estas cosas. No te preocupes, solamente quería darte la noción de "repetición" para resolver ese tipo de inecuaciones, pero no viene a cuento :).

Respecto a esto, entré hace un par de semanas en el primer curso del grado en matemáticas, así que técnicamente, soy inexperto en todo  ;D, es por eso que agradezco mucho toda la ayuda que se me brinda en este foro.

07 Octubre, 2020, 08:35 pm
Respuesta #9

w a y s

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Hola ciberalfil,

Puedes hacerlo también de otra forma:

\( \sqrt[ ]{x}=x-2 \)

Haciendo \( x=t^2 \) se tiene:


\( t=t^2-2\quad\Rightarrow{}\quad t^2-t-2=0 \)


de raíces -1 y 2. Pero solo vale la raíz positiva porque en la ecuación inicial solo aparece:


\( t=+\sqrt[ ]{x}\quad \Rightarrow{}\quad t>0 \)



Luego:


\( t=2:x=4 \)


Observa que si la ecuación inicial hubiera sido:


\( -\sqrt[ ]{x}=x-2 \)


la solución hubiera sido:


\( t<0\quad\Rightarrow{}\quad t=-1:x=1 \)


Salu2

Esta solución me parece bastante interesante e ingeniosa, la verdad es que no se me había ocurrido, muchas rgacias por el aporte.