Autor Tema: El hotel de las 1000 habitaciones.

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07 Octubre, 2020, 09:41 am
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robinlambada

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Hola, os propongo este problema porque me ha parecido una forma amena de ver algunas propiedades de los números naturales.

Cuentan que en cierto país había un gran hotel que tenía 1000 habitaciones
y otros tantos empleados. Estos, un día que no tenían mucho trabajo, se dedicaron a jugar
abriendo y cerrando las puertas de las mil habitaciones. Al principio todas las puertas estaban
cerradas y empezó el primer empleado abríendolas todas; siguíó el segundo cerrando todas las
puertas pares y luego el tercero cambiando de posición (abriendo si estaban cerradas y cerrando
si estaban abiertas) todas las habitaciones cuyo número era múltiplo de tres. El cuarto hizo
lo mismo; es decir: cambiar de posición todas las puertas cuyo número era múltiplo de cuatro
y así pasaron todos los empleados, cada uno de ellos cambiando de posición las puertas que
le correspondían. El  último tuvo poco trabajo, pues sólo abrió o cerró la puerta número mil.

¿Qué hizo, la cerró o la abrió? Más aún: ¿qué habitaciones quedaron abiertas?, ¿cuántas
fueron en total?

Mejor usar el Spoiler para vuestras soluciones, así damos oportunidad a que más personas puedan resolverlo.

Saludos. ( Se entiende que las habitaciones están numeradas de la 1 a la 1000).
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

07 Octubre, 2020, 10:24 am
Respuesta #1

geómetracat

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Bonito problema. Ahí va mi solución:

Spoiler
Para un \( n \) fijado, cambian de posición la puerta \( n \) tantas veces como divisores tiene \( n \). Llamando \( d(n) \) al número de divisores de \( n \) y teniendo en cuenta que empieza con la puerta cerrada, tenemos que \( n \) quedará abierto si \( d(n) \) es impar, y cerrado si \( d(n) \) es par.

Por tanto todo se reduce a analizar la paridad de \( d(n) \). Si descomponemos \( n \) en factores primos, \( n=p_1^{a_1}\dots p_r^{a_r} \), es fácil contar los divisores y ver que es \( d(n)=(a_1+1)\dots (a_r+1) \). Por tanto, \( d(n) \) es impar si y solo si todos los exponentes en la descomposición de \( n \) son pares, si y solo si \( n \) es un cuadrado perfecto (esto también incluye al \( 1 \) ya que \( d(1)=1 \)).

En resumen, las puertas que quedan abiertas son exactamente las que tienen como número un cuadrado perfecto. Como \( 1000 \) no es cuadrado, su puerta queda cerrada. Como hay \( 31 \) cuadrados perfectos menores que mil, ése es el número de puertas que quedan abiertas.

Por cierto, que el mil no tiene nada de especial. Esta solución sirve igual para cualquier número de habitaciones.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Octubre, 2020, 05:01 am
Respuesta #2

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Hola Lo había leído hace tiempo, pero no me acordaba la solución...
pero ahí va
Spoiler
cada habitación es visitada por un empleado cuyo numero es divisor del numero de habitación
como el 1 abre todas el propio numero de la habitación la cierra por lo que los numero de habitación primos terminan cerrados.
Del mismo modo sucede con los números de habitación con divisores diferentes, un divisor la abre el otro la cierra.
Por lo tanto solo quedan abiertas las habitaciones con un número de divisores impares, que son las que se repite el mismo número de empleado como divisor osea las habitaciones que tiene numero correspondiente a un cuadrado perfecto.
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
900
961




entonces el numero 1000 cerró la habitación, y quedaron 31 abiertas




Saludos, lindo problema


[cerrar]
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)