Hola, traigo una demostración, ya la he resuelto y me gustaría que ,por favor, alguien me dijera si está bien escrita.
Demuestra que\( \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B) \)
Usaré la doble inclusión.
Supongamos que \( X \in \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B) \), entonces \( X \in \mathcal{P}(A) \) y \( X \in \mathcal{P}
(B). \)Puesto que \( X \in \mathcal{P}(A) \) y \( X \in \mathcal{P}(B) \) se tiene que \( X \subset A \) y \( X \subset
B \),luego \( X \subset A\cap B \). Por lo tanto se tiene que \( X \in \mathcal{P}(A\cap B) \). Como para todo \( X \in
\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B) \) se verifica que \( X \in \mathcal{P}(A\cap B) \), queda demostrado que \( \mathcal{P}
(A)\cap\mathcal{P}(B) \subset \mathcal{P}(A\cap B) \).
Por otra parte si \( X \in \mathcal{P}(A\cap B) \), entonces \( X \subset A\cap B \), luego \( X \subset A \) y \( X \subset
B \), de manera que \( X \in \mathcal{P}(A) \) y \( X \in \mathcal{P}(B) \). Por lo tanto concluimos que \( X \in \mathcal{P}
(A)\cap\mathcal{P}(B) \). Como para todo \( X \in \mathcal{P}(A\cap B) \) se tiene que \( X \in
\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B) \), queda demostrado que \( \mathcal{P}(A\cap B) \subset \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)
\) . De esta doble inclusión deducimos que \( \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B) \),
que es lo que queríamos demostrar.
¿Está esto bien demostrado?,¿se le ocurre a alguien alguna otra manera de demostrarlo?
Muchas gracias de antemano, un saludo.
