Hola zaibelzambrano. Revisa las respuestas anteriores. No estás buscando el espacio orgonal, estás buscando una base de vectores ortogonales de tu espacio.
Tienes los vectores:
\( \mathbf{v}_1=( 1, 0, -1, 2, 1 ) \), \( \mathbf{v}_2=(-1, 1, 0, 2, -1) \), \( \mathbf{v}_3=(1, -1, 1, 0, 2), \) y \( \mathbf{v}_4=( 2, -1, 1, -1, 0) \).
El Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt es como sigue:
\( \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1=( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)
\( \displaystyle\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1 \)
\( =(-1, 1, 0, 2, -1)-\dfrac{(-1, 1, 0, 2, -1)\cdot( 1, 0, -1, 2, 1 ) }{( 1, 0, -1, 2, 1 )\cdot ( 1, 0, -1, 2, 1 )}( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)
\( =(-1, 1, 0, 2, -1)-\dfrac{2}{7}( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)
\( \color{red}\xcancel{=\left(\dfrac{9}{7},\dfrac{-2}{7},-1,\dfrac{10}{7},\dfrac{9}{7}\right)} \)
\( \color{red}=\left(\dfrac{-9}{7},1,\dfrac{2}{7},\dfrac{10}{7},\dfrac{-9}{7}\right) \)
\( \displaystyle\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1-{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2\rangle\over\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2 \)
\( \displaystyle\mathbf{u}_4 = \mathbf{v}_4-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_2\rangle\over\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_3\rangle\over\langle\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_3\rangle}\mathbf{u}_3 \)
Te dejo a ti calcular \( \mathbf{u}_3 \) y \( \mathbf{u}_4 \).
Nota que el espacio generado por \( \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} \) es el mismo que el generado por \( \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4\} \). Entonces, ¿qué ganamos con este trabajo? Tener una
base ortogonal del subespacio vectorial (una base de vectores ortogonales que genera el mismo espacio).
Puedes ver la fórmula general en wikipedia:
https://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_de_ortogonalizaci%C3%B3n_de_Gram-SchmidtP.D. Lo que está en rojo es una modificación hecha luego de la primera intervención de el_manco