Autor Tema: Halle una base ortogonal del espacio vectorial

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07 Octubre, 2020, 12:39 am
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zaibelzambrano

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Por favor, necesito ayuda con este ejercicio, ojalá puedan ayudarme.

Halle una base ortogonal del subespacio vectorial de \( \mathbb{R}^5 \) generado por los vectores \( ( 1, 0, -1, 2, 1 ) \), \( (-1, 1, 0, 2, -1) \),
\( (1, -1, 1, 0, 2), \) y \( ( 2, -1, 1, -1, 0) \) considerando el producto interno usual en \( \mathbb{R}^5 \).

P.S. Se cambiaron las palabras en mayúscula a minúscula del título y cuerpo del mensaje

07 Octubre, 2020, 12:45 am
Respuesta #1

alexpglez

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Hola,
¿qué has intentado?

Por otro lado, en \(  \mathbb R^5  \) te dan 4 vectores, luego el subespacio ortogonal tiene dimensión 1. En otras palabras, te basta encontrar un vector ortogonal a los que te dan, que es base del espacio pedido.

07 Octubre, 2020, 12:51 am
Respuesta #2

zaibelzambrano

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En verdad no se que hacer necesito la ayuda por favor!! Si me puedes explicar paso a paso como se realiza? Debo realizar muchos mas de un formulario no logro entender que hacer!!!! :'(

07 Octubre, 2020, 12:59 am
Respuesta #3

mathtruco

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Por otro lado, en \(  \mathbb R^5  \) te dan 4 vectores, luego el subespacio ortogonal tiene dimensión 1. En otras palabras, te basta encontrar un vector ortogonal a los que te dan, que es base del espacio pedido.

Ojo que la pregunta es hallar una base ortogonal del espacio generado por esos cuatro vectores, no están preguntando una base para su ortogonal. Por otra parte, no sabemos si el espacio generado por esos 4 vectores es de dimensión 4, para asegurarnos tendríamos que verificar que son linealmente independientes, así que su espacio ortogonal puede tener dimensión mayor que uno.

POR FAVOR NECESITO AYUDA CON ESTE EJERCICIO, OJALA PUEDAN AYUDARME !!
HALLE UNA BASE ORTOGONAL DEL SUBESPACIO VECTORIAL DE \( IR^5 \) generado por los vectores \( ( 1, 0, -1, 2, 1 ) \), \( (-1, 1, 0, 2, -1) \),
\( (1, -1, 1, 0, 2), \) y \( ( 2, -1, 1, -1, 0) \) considerando el producto interno usual en \( IR^5 \).

Lo que te están pidiendo es que apliques el Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Seguro tendrás un ejemplo en tu cuaderno, es sólo aplicar la fórmula. Revisa la fórmula y aplícala y si quieres escribe el desarrollo acá y lo revisamos.

07 Octubre, 2020, 01:15 am
Respuesta #4

alexpglez

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Ojo que la pregunta es hallar una base ortogonal del espacio generado por esos cuatro vectores, no están preguntando una base para su ortogonal. Por otra parte, no sabemos si el espacio generado por esos 4 vectores es de dimensión 4, para asegurarnos tendríamos que verificar que son linealmente independientes, así que su espacio ortogonal puede tener dimensión mayor que uno.

Disculpad había leído mal el enunciado y como me han hecho notar, no es verdad que necesariamente formen un espacio de dimensión 4 (las prisas  :-[)

09 Octubre, 2020, 02:19 pm
Respuesta #5

zaibelzambrano

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Esto es lo que he podido hacer!! Necesito ayuda para terminarlo por favor!!
\( (1, 0, -1, 2 , 1), (-1, 1, 0, 2, -1), (1, -1, 1, 0, 2), (2, -1, 1, -1,0) \)
\( W^\perp{} = (x,y,z,t,p) \in{R^5} \) | \(  (x,y,z,t,p) . v = 0 \forall{v} \in{W} \)
\( W^\perp{} = (x,y,z,t,p) . (1, 0, -1, 2 , 1) = 0  \)
              \(      = (x,y,z,t,p) . (-1, 1, 0, 2, -1) = 0  \)
              \(      =  (x,y,z,t,p) .  (1, -1, 1, 0, 2) = 0 \)
              \(      =  (x,y,z,t,p)  . (2, -1, 1, -1,0) = 0 \)
\(  x - z + 2t + p = 0  \)
\( -x + y + 2t - p = 0  \)
\(  x - y + z + 2p = 0  \)
\( 2x - y + z - t = 0 \) por favor ayudenme a terminarlo!

09 Octubre, 2020, 02:57 pm
Respuesta #6

mathtruco

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Hola zaibelzambrano. Revisa las respuestas anteriores. No estás buscando el espacio orgonal, estás buscando una base de vectores ortogonales de tu espacio.

Tienes los vectores:

     \( \mathbf{v}_1=( 1, 0, -1, 2, 1 ) \), \( \mathbf{v}_2=(-1, 1, 0, 2, -1) \), \( \mathbf{v}_3=(1, -1, 1, 0, 2), \) y \( \mathbf{v}_4=( 2, -1, 1, -1, 0) \).

El Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt es como sigue:

    \( \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1=( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)

    \( \displaystyle\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1 \)

          \( =(-1, 1, 0, 2, -1)-\dfrac{(-1, 1, 0, 2, -1)\cdot( 1, 0, -1, 2, 1 ) }{( 1, 0, -1, 2, 1 )\cdot ( 1, 0, -1, 2, 1 )}( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)

          \( =(-1, 1, 0, 2, -1)-\dfrac{2}{7}( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)

          \( \color{red}\xcancel{=\left(\dfrac{9}{7},\dfrac{-2}{7},-1,\dfrac{10}{7},\dfrac{9}{7}\right)} \)

          \( \color{red}=\left(\dfrac{-9}{7},1,\dfrac{2}{7},\dfrac{10}{7},\dfrac{-9}{7}\right) \)

    \( \displaystyle\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1-{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2\rangle\over\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2 \)

    \( \displaystyle\mathbf{u}_4 = \mathbf{v}_4-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_2\rangle\over\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_3\rangle\over\langle\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_3\rangle}\mathbf{u}_3 \)


Te dejo a ti calcular \( \mathbf{u}_3 \)  y \( \mathbf{u}_4 \).

Nota que el espacio generado por \( \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} \) es el mismo que el generado por \( \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4\} \). Entonces, ¿qué ganamos con este trabajo? Tener una base ortogonal del subespacio vectorial (una base de vectores ortogonales que genera el mismo espacio).


Puedes ver la fórmula general en wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_de_ortogonalizaci%C3%B3n_de_Gram-Schmidt

P.D. Lo que está en rojo es una modificación hecha luego de la primera intervención de el_manco

14 Octubre, 2020, 10:04 pm
Respuesta #7

zaibelzambrano

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No logro hacer los cálculos, me confundí demasiado operando entre los vectores,  en la parte de \( u_2 \) debería quedar \( u_2 = ( \frac{-9}{7}, \frac{-2}{7}, -1, \frac{10}{7}, \frac{9}{7}) \) ? O soy yo la que está equivocada? Necesito la ayuda!!
Por otra parte, calculé primero \(  u_3 = (1, -1, 1, 0, 2) - \frac{(1, -1, 1, 0, 2) . (1, 0, -1, 2, 1)}{(1,0,-1,2,1) (1,0,-1,2,1} . (1,0,-1,2,1) \)
\(  u_3 = (1, -1, 1, 0, 2) - \frac{2}{7} . (1, 0, -1, 2, 1) \)
\(  = (\frac{5}{7}, -1, \frac{9}{7}, \frac{-4}{7}, \frac{12}{7}) \) esto corresponde a la primera parte de \(  u_3 = v_3 - \frac{(v_3, u_1}{u_1, u_1} . u_1  \) ayudenme por favor.

15 Octubre, 2020, 10:59 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

 Te han dejado todo planteado. ¡Son sólo cuentas lo que te queda!.

No logro hacer los cálculos, me confundí demasiado operando entre los vectores,  en la parte de \( u_2 \) debería quedar \( u_2 = ( \frac{-9}{7}, \frac{-2}{7}, -1, \frac{10}{7}, \frac{9}{7}) \) ? O soy yo la que está equivocada? Necesito la ayuda!!

 Creo que debería de ser:

\( =(-1, 1, 0, 2, -1)-\dfrac{2}{7}( 1, 0, -1, 2, 1 )=\left(\dfrac{-9}{7},1,\dfrac{2}{7},\dfrac{10}{7},\dfrac{-9}{7}\right) \)

Citar
Por otra parte, calculé primero \(  u_3 = (1, -1, 1, 0, 2) - \frac{(1, -1, 1, 0, 2) . (1, 0, -1, 2, 1)}{(1,0,-1,2,1) (1,0,-1,2,1} . (1,0,-1,2,1) \)
\(  u_3 = (1, -1, 1, 0, 2) - \frac{2}{7} . (1, 0, -1, 2, 1) \)
\(  = (\frac{5}{7}, -1, \frac{9}{7}, \frac{-4}{7}, \frac{12}{7}) \) esto corresponde a la primera parte de \(  u_3 = v_3 - \frac{(v_3, u_1}{u_1, u_1} . u_1  \) ayudenme por favor.

Bien; aunque no se porqué lo calculas "por partes". Haz la cuenta completa...

Saludos.

15 Octubre, 2020, 10:37 pm
Respuesta #9

zaibelzambrano

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No logro terminar los cálculos ayudenme, he intentado hacerlo por parte y el ejercicio no me sale, es mucho mas complicado hacerlo completo , por favor como debo proceder?