Autor Tema: pruebe si T es una transformación lineal o no.

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14 Octubre, 2020, 03:34 am
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Taniadiaz

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Ayuda con este ejercicio, no sé como hacerlo. Necesito me ayuden por favor!!!
sea \( A \) una matriz fija e invertible  en el espacio vectorial \(  M_{n \times n} \) sobre los números reales, de las matrices cuadradas de orden \( n \), definimos la función \(  T : M_{n \times  n} \rightarrow{} M_{n \times  n} \)  por \( T(X) = AX - XA^{-1} \) donde, \(  X\in{M}_{n \times  n} \) pruebe si \( T \) es una transformación lineal o no .
Si la respuesta es afirmativa para el caso cuando
\( A = \begin{bmatrix}{1}&{-1}&{1}\\{0}&{2}&{-1}\\{-1}&{1}&{0}\end{bmatrix}  \in{}M_{ 3x3}  \) encuentre una base del núcleo de \( T \) y demuestre que \( T \) es un isomorfismo.

Mensaje corregido desde la administración.

14 Octubre, 2020, 06:42 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Ayuda con este ejercicio, no sé como hacerlo. Necesito me ayuden por favor!!!
sea A una matriz fija e invertible  en el espacio vectorial \(  M_{n x n} \) sobre los números reales, de las matrices cuadradas de orden n, definimos la función \(  T : M_{n x n} \rightarrow{} M_{n x n}  por T(X) = AX - XA^-1 \) donde, \(  X\in{M}_{n x n} \) pruebe si T es una transformación lineal o no .
Si la respuesta es afirmativa para el caso cuando
A = \begin{bmatrix}{1}&{-1}&{1}\\{0}&{2}&{-1}\\{-1}&{1}&{0}\end{bmatrix} \(  \in{}M_{ 3x3}  \) encuentre una base del núcleo de T y demuestre que T es un isomorfismo.

Para todo \( \alpha,\beta\in \mathbb{\mathbb{R}} \) y para todo \( X,Y\in {M}_{n x n} \) tenemos

        \( T(\alpha X+\beta Y)=A(\alpha X+\beta Y)-(\alpha X+\beta Y)A^{-1}=\underbrace{\ldots}_{\text{operando}}=\alpha (AX-XA^{-1})+\beta (AY-YA^{-1})=\alpha T(X)+\beta T(Y). \)
El núcleo está formado por los vectores \( X\in {M}_{n x n} \) tales que \( T(X)=0 \), es decir los que satisfacen \( AX=XA^{-1} \). Completa ...

P.D. 1. Tecleando [tex]A^{-1}[/tex] obtendrás \( A^{-1} \).
P.D. 2. Los títulos empiezan con mayúscula.

14 Octubre, 2020, 01:05 pm
Respuesta #2

Taniadiaz

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Fernando gracias por responder, pero en este caso, que mas debería hacer? Como encuentro la base del núcleo T y demuestro que T es un isomorfismo? 

14 Octubre, 2020, 03:25 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Fernando gracias por responder, pero en este caso, que mas debería hacer? Como encuentro la base del núcleo T y demuestro que T es un isomorfismo?

Elige una matriz genérica \( X \) de \( M_3(\mathbb{R}) \), plantea el sistema \( AX=XA^{-1} \) y aplica el método que se explica aquí. Para que \( T \) sea isomorfismo, será (por un conocido teorema) necesario y suficiente (en nuestro caso) que \( \ker T=\left\{{0}\right\}. \)

P.D. Tengo la impresión de que no has estudiado la teoría previa. Si es así, todo mi esfuerzo anterior me temo que va a ser inutil.

15 Octubre, 2020, 09:32 pm
Respuesta #4

Taniadiaz

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Fernando por favor, ayudame te lo suplico, no entiendo nada. Necesito resolverlo por favor

15 Octubre, 2020, 10:02 pm
Respuesta #5

Fernando Revilla

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Fernando por favor, ayudame te lo suplico, no entiendo nada. Necesito resolverlo por favor

Bien, resulta que es un problema que me parece interesante añadirlo a la colección de mi página. Mañana lo redactaré completamente y te pondré el enlace. Ahora bien,

¿Te interesa aprender o que te resuelvan eventualmente los problemas? Si es el primer caso habría que analizar que cuestiones previas tienes que estudiar, antes de intentar resolver cierto tipo de problemas. Por ejemplo, hasta \( \ker T\equiv{AX=XA^{-1}} \) ¿lo has entendido?

15 Octubre, 2020, 10:16 pm
Respuesta #6

Taniadiaz

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Fernando creeme que me interesa de aprender, no es fácil para mi tener que estar pidiendo ayuda para resolver los problemas, me gustaría poder entenderlos completamente,  necesito que por favor me ayudes, yo tengo mas de una semana tratando de buscar quien me explique y no conseguí. Lamento no haber acudido al foro mucho antes, ayudarme, solo me faltan 4 horas para entregar este ejercicio y no he podido sacarlo.

16 Octubre, 2020, 12:15 am
Respuesta #7

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Mira Aplicación lineal $$T(X)=AX-XA^{-1}$$. La matriz \( A \) original la he sustituido por una de orden \( 2\times 2 \), conceptualmente es lo mismo y nos ahorramos un esteril sistema de \( 9 \) ecuaciones con \( 9 \) incógnitas.

P.D. En el futuro deberás cambiar tu esquema. El foro está para ayudar a aprender, no para hacer los deberes.