Autor Tema: ¿Es esto cierto?

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01 Octubre, 2020, 08:52 pm
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w a y s

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Hola, ¿puede alguien decirme si mis deducciones acerca de esta proposición son ciertas?

La implicación es:
 
Para \( z,t \in \mathbb{R}, z=t \) si y sólo si \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \).

Demostrar que esto es cierto es lo mismo que demostrar que las implicaciones (1): "Para  \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( z=t \), entonces \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \) y (2): Para \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \), entonces \( z=t \).

Demostremos (1):
 
  Sean \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( z=t \), entonces puedo aplicar una raíz de índice impar a ambos miembros de la igualdad ya que estas existen tanto si \( z=t>0 \) como si
  \( z=t<0 \) de manera que aplicando la raíz de índice impar 5 a ambos miembros de la igualdad se tiene que:

                                                           
\( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \).

Demostremos (2):

  Sean \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \) como para las raíces de índice impar se tiene que \( \sqrt[n ]{a^{n}}=a  \) si n es impar, entonces elevando a 5
  ambos miembros de la igualdad se tiene que:

\( \sqrt[5 ]{z^{5}}=\sqrt[5 ]{t^{5}} \ \Rightarrow \ z=t \).

Se ha demostrado que ambas implicaciones son ciertas y por tanto se tiene que la proposición inicial es cierta, ahora bien, ¿podría alguien, por favor, con mas conocimiento que yo acerca del tema, verificar si mis deducciones son correctas?

Gracias de antemano, un saludo.

PD: Siento haber publicado el tema en blanco, pulsé la tecla ENTER sin querer mientras escribía el título y se publicó vacío, disculpen las molestias.

01 Octubre, 2020, 09:20 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola, ¿puede alguien decirme si mis deducciones acerca de esta proposición son ciertas?

La implicación es:
 
Para \( z,t \in \mathbb{R}, z=t \) si y sólo si \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \).

Demostrar que esto es cierto es lo mismo que demostrar que las implicaciones (1): "Para  \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( z=t \), entonces \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \) y (2): Para \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \), entonces \( z=t \).

Demostremos (1):
 
  Sean \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( z=t \), entonces puedo aplicar una raíz de índice impar a ambos miembros de la igualdad ya que estas existen tanto si \( z=t>0 \) como si
  \( z=t<0 \) de manera que aplicando la raíz de índice impar 5 a ambos miembros de3 la igualdad se tiene que:

                                                           
\( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \).

Demostremos (2):

  Sean \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \) como para las raíces de índice impar se tiene que \( \sqrt[n ]{a^{n}}=a  \) si n es impar, entonces elevando a 5
  ambos miembros de la igualdad se tiene que:

\( \sqrt[5 ]{z^{5}}=\sqrt[5 ]{t^{5}} \ \Rightarrow \ z=t \).

Se ha demostrado que ambas implicaciones son ciertas y por tanto se tiene que la proposición inicial es cierta, ahora bien, ¿podría alguien, por favor, con mas conocimiento que yo acerca del tema, verificar si mis deducciones son correctas?

Gracias de antemano, un saludo.

PD: Siento haber publicado el tema en blanco, pulsé la tecla ENTER sin querer mientras escribía el título y se publicó vacío, disculpen las molestias.

Si, es correcto el razonamiento.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

01 Octubre, 2020, 09:23 pm
Respuesta #2

w a y s

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Muchas gracias, robinlambada, por tu ayuda.

01 Octubre, 2020, 09:28 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Lo veo bien. Sólo una pequeña observación: Cuando dices "La implicación es:" pareciera que ya sabes de antemano que la proposición (que de hecho es una equivalencia, o sea un si y sólo si) es verdadera porque usas la palabra "implicación", y esto en general significa algo que es cierto. Por tanto, yo lo cambiaría por "La proposición es:" o "El bicondicional es:".

Saludos

Agregado: geométracat que pasó por aquí debería saber a lo que me refiero :P

01 Octubre, 2020, 09:34 pm
Respuesta #4

w a y s

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Muchas gracias, manooooh, por tu aporte, no te imaginas lo mucho que me sirve lo que me has dicho. Desde que estudio matemáticas intento escribir de la forma más correcta posible y estos detalles son los que hacen la diferencia.

01 Octubre, 2020, 10:52 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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Puedes usar también que la función \( g(x) = x^5  \) es biyectiva y continua  por ser \( 5 \) impar y usar que \( f(x) = \sqrt[5]{x}  \) es su inversa.