Hola, ¿puede alguien decirme si mis deducciones acerca de esta proposición son ciertas?
La implicación es:
Para \( z,t \in \mathbb{R}, z=t \) si y sólo si \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \).
Demostrar que esto es cierto es lo mismo que demostrar que las implicaciones (1): "Para \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( z=t \), entonces \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \) y (2): Para \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \), entonces \( z=t \).
Demostremos (1):
Sean \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( z=t \), entonces puedo aplicar una raíz de índice impar a ambos miembros de la igualdad ya que estas existen tanto si \( z=t>0 \) como si
\( z=t<0 \) de manera que aplicando la raíz de índice impar 5 a ambos miembros de la igualdad se tiene que:
\( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \).
Demostremos (2):
Sean \( z,t \in \mathbb{R} \) tales que \( \sqrt[5 ]{z}=\sqrt[5 ]{t} \) como para las raíces de índice impar se tiene que \( \sqrt[n ]{a^{n}}=a \) si n es impar, entonces elevando a 5
ambos miembros de la igualdad se tiene que:
\( \sqrt[5 ]{z^{5}}=\sqrt[5 ]{t^{5}} \ \Rightarrow \ z=t \).
Se ha demostrado que ambas implicaciones son ciertas y por tanto se tiene que la proposición inicial es cierta, ahora bien, ¿podría alguien, por favor, con mas conocimiento que yo acerca del tema, verificar si mis deducciones son correctas?
Gracias de antemano, un saludo.
PD: Siento haber publicado el tema en blanco, pulsé la tecla
ENTER sin querer mientras escribía el título y se publicó vacío, disculpen las molestias.
