Autor Tema: Contrarrecíproco de esta proposición.

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04 Octubre, 2020, 12:44 pm
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w a y s

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Hola traigo una proposición para ver si alguien  puede , por favor, decirme su contrarrecíproco.

La proposición en cuestión es:

  Si \( a<b \) entonces \( a<\lambda a + (1- \lambda)b \) para cada \( \lambda \in (0,1) . \)

Muchas gracias de antemano. Un saludo.

04 Octubre, 2020, 04:24 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola w a y s.

No sé porqué a veces se colocan los cuantificadores al final, aunque es una práctica habitual te aconsejo reescribir el enunciado con los cuantificadores al principio:

    \( a<b\quad\longrightarrow\quad \Big[(\forall \lambda\in(0,1))\;\, a<\lambda a+(1-\lambda)b\Big] \)

Recordando que la negación de \( p\rightarrow q \) es \( p\wedge\sim q \), la negación de la proposición es equivalente a

    \( a<b\quad\wedge\quad \sim\Big[(\forall \lambda\in(0,1))\;\, a<\lambda a+(1-\lambda)b\Big] \)

lo que es equivalente a

    \( a<b\quad\wedge\quad \Big[(\exists \lambda\in(0,1))\;\, a\geq\lambda a+(1-\lambda)b\Big] \)

04 Octubre, 2020, 07:42 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola

mathtruco, yo pienso que está bien cómo tradujiste a símbolos pero no sé si le querías dar una ayuda o decirle el contrarrecíproco porque sería \( \neg q\to\neg p \) y no la negación del condicional.

Saludos

04 Octubre, 2020, 07:52 pm
Respuesta #3

mathtruco

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Toda la razón manooooh, escribí la negación de la proposición. Gracias por estar atento.

Como bien dice manooooh, el contrarecíproco de \( p\rightarrow q \) es \( \sim q\rightarrow \sim p \), por lo que el contrarecíproco de

    \( a<b\quad\longrightarrow\quad \Big[(\forall \lambda\in(0,1))\;\, a<\lambda a+(1-\lambda)b\Big] \)

es

    \( \sim\Big[(\forall \lambda\in(0,1))\;\, a<\lambda a+(1-\lambda)b\Big] \quad\longrightarrow\quad\sim(a<b) \)

que es equivalente a

    \( \Big[(\exists \lambda\in(0,1))\;\, a\geq \lambda a+(1-\lambda)b\Big] \quad\longrightarrow\quad a\geq b \)

04 Octubre, 2020, 09:17 pm
Respuesta #4

w a y s

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Muchas gracias a ambos por vuestras respuestas.