Autor Tema: Probar por Inducción

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04 Octubre, 2020, 02:35 am
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nktclau

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Hola GENTE!! ¿como están? necesito de vuestra ayuda , por favor, con el siguiente ejercicio.
Probar por inducción que \( \displaystyle\sum_{k=2n+1}^{3n}{(2k-1)}=5n^2 \) \( \forall{n} \in{\mathbb{N}} \)

Para \( n=1 \)  \( \displaystyle\sum_{k=2 \cdot 1+1}^{3 \cdot 1}{(2k-1)}=\displaystyle\sum_{k=3}^3{(2k-1)}=5=5 \cdot 1^2 \)

Se verifica que \( P(1) \) es verdadero

Hipótesis inductiva: Supongo verdadero \( \displaystyle\sum_{k=2h+1}^{3h}{(2k-1)}=5h^2 \)

Y debemos probar que: \( \displaystyle\sum_{k=2(h+1)+1}^{3(h+1)}{(2k-1)}=5(h+1)^2 \) es verdadero

Demostarcion : al partir de  \( \displaystyle\sum_{k=2(h+1)+1}^{3(h+1)}{(2k-1)}=9 + .... + [2(3h)-1]+ [2(3h+1)-1]+[2(3h+2)-1]+[2(3h+3)-1]= \)

¿es esto correcto? veo que los limites de las sumatorias de las hipotesis inductiva y la tesis son distintas, y no puedo llegar a encontrar la expresion adecuada para usar la hipótesis inductiva. A todo esto la tesis inductiva no comienza en 5 sino en 9  :-[.

Gracias

04 Octubre, 2020, 03:56 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola nktclau.

Normalmente es más fácil usar el símbolo de sumatoria y sus propiedades y evitar expandirlo, porque escribimos menos.

    Hipótesis de Inducción: \( \displaystyle\sum_{k=2n+1}^{3n}(2k-1)=5n^2 \)

    Tesis de Inducción: \( \displaystyle\sum_{k=2(n+1)+1}^{3(n+1)}(2k-1)=5(n+1)^2 \)

Hasta ahí ibas bien. Tienes razón, que debemos hacer aparecer la hipótesis de induccion, así que debemos preocuparnos que la sumatoria comience y termine en los mismos números que la hipótesis de inducción.

    \( \displaystyle\sum_{k=2(n+1)+1}^{3(n+1)}(2k-1)=\sum_{k=2n+3}^{3(n+1)}(2k-1)=-\big[2(2n+1)-1\big]-\big[2(2n+2)-1\big]+\left[\displaystyle\sum_{\color{blue}k=2n+1}^{3n+3}(2k-1)\right] \)

Nota que lo que hicimos es hacer que la sumatoria parta desde donde queremos, y con esto la sumatoria tiene dos términos extra que son los que restamos para que se mantenga la igualdad. El límite superior de la sumatoria es aún más sencillo:

    \( \displaystyle\sum_{k=2(n+1)+1}^{3(n+1)}(2k-1)=-\big[2(2n+1)-1\big]-\big[2(2n+2)-1\big]+\left[\displaystyle\sum_{\color{blue}k=2n+1}^{\color{blue}3n}(2k-1)\right]+\big[2(3n+1)-1\big]+\big[2(3n+2)-1\big]+\big[2(3n+3)-1\big] \)

Ahora ya es sólo reemplazar la hipótesis de inducción y hacer cuentas algebraicas.

05 Octubre, 2020, 12:53 am
Respuesta #2

nktclau

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MUCHISIMAS GRACIAS Mathtruco :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso:
Excelente explicación y guía, me super sirvió.  ;)