[Saucedo]

Sea \( A \) la matriz de adyacencia para \( K_3 \), la gráfica completa de tres vértices. Utiliza inducción matemática para demostrar que para cada entero positivo \( n \), todas las entradas a lo largo de la diagonal principal de \( A^n \) son iguales entre sí y todas las entradas que no se encuentran en la diagonal principal son iguales entre sí.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( A \) la matriz de adyacencia para \( K_3 \), la gráfica completa de tres vértices. Utiliza inducción matemática para demostrar que para cada entero positivo \( n \), todas las entradas a lo largo de la diagonal principal de \( A^n \) son iguales entre sí y todas las entradas que no se encuentran en la diagonal principal son iguales entre sí.

La matriz de adyacencia de \( K_3 \) es: \( A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\\\end{pmatrix} \).

Para el paso inductivo ten en cuenta que si \( A^n=\begin{pmatrix}a_n&b_n&b_n\\b_n&a_n&b_n\\b_n&b_n&a_n\\\end{pmatrix} \) entonces:

\( A^{n+1}=A^nA=\begin{pmatrix}a_n&b_n&b_n\\b_n&a_n&b_n\\b_n&b_n&a_n\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2b_n&a_n+b_n&a_n+b_n\\a_n+b_n&2b_n&a_n+b_n\\a_n+b_n&a_n+b_n&2b_n\\\end{pmatrix} \)

Saludos.