Autor Tema: Demostración de antisimetría en relación definida en los números enteros

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03 Octubre, 2020, 01:24 am
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Sintesis

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Buenas, necesitaba demostrar que esta relación es antisimétrica:

x es múltiplo de y, definida en \( \mathbb Z \)

Hice esta demostración pero estaba en duda de si esta bien hecha:

Hipótesis) \(  x = yk \wedge y = xk' : k, k'\in{\mathbb Z} \)
Tesis) \( x=y \)

\( y = (yk)k' \Rightarrow{y = y(k.k')}\Rightarrow{y=y.k'':k''\in{\mathbb Z}}\Rightarrow{y=x}\Rightarrow{x=y}  \)

¿Es valido reemplazar y.k'' por x (por hipótesis seria x = y.k)?




03 Octubre, 2020, 02:18 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Buenas, necesitaba demostrar que esta relación es antisimétrica:

x es múltiplo de y, definida en \( \mathbb Z \)

Hice esta demostración pero estaba en duda de si esta bien hecha:

Hipótesis) \(  x = yk \wedge y = xk' : k, k'\in{\mathbb Z} \)
Tesis) \( x=y \)

\( y = (yk)k' \Rightarrow{y = y(k.k')}\Rightarrow{y=y.k'':k''\in{\mathbb Z}}  \)

¿Es valido reemplazar y.k'' por x (por hipótesis seria x = y.k)?



Has llegado bien hasta este punto; ten en cuenta que para un \( y\neq 0\Rightarrow{k''=1}\Rightarrow{k \ k'=1} \) se puede demostrar que las soluciones son \( k=1, \ k'=1 \) ó \( k=-1, \ k'=-1 \); pero observa que \( (4,-4)\in{R} \ \wedge \ (-4,4)\in{R} \) ahora ¿Es antisimétrica la relacion \( R \)?

Spoiler
No lo es, por que para que sea antisimétrica \( \forall{(x,y)}\in{R} \wedge (y,x)\in{R}\Rightarrow{x=y}, \ 4 \neq -4 \)
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Saludos

04 Octubre, 2020, 05:48 am
Respuesta #2

Sintesis

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Hola

Buenas, necesitaba demostrar que esta relación es antisimétrica:

x es múltiplo de y, definida en \( \mathbb Z \)

Hice esta demostración pero estaba en duda de si esta bien hecha:

Hipótesis) \(  x = yk \wedge y = xk' : k, k'\in{\mathbb Z} \)
Tesis) \( x=y \)

\( y = (yk)k' \Rightarrow{y = y(k.k')}\Rightarrow{y=y.k'':k''\in{\mathbb Z}}  \)

¿Es valido reemplazar y.k'' por x (por hipótesis seria x = y.k)?



Has llegado bien hasta este punto; ten en cuenta que para un \( y\neq 0\Rightarrow{k''=1}\Rightarrow{k \ k'=1} \) se puede demostrar que las soluciones son \( k=1, \ k'=1 \) ó \( k=-1, \ k'=-1 \); pero observa que \( (4,-4)\in{R} \ \wedge \ (-4,4)\in{R} \) ahora ¿Es antisimétrica la relacion \( R \)?

Spoiler
No lo es, por que para que sea antisimétrica \( \forall{(x,y)}\in{R} \wedge (y,x)\in{R}\Rightarrow{x=y}, \ 4 \neq -4 \)
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Saludos

Gracias, saludos.