[DRU]

Hola

De

\( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) = \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)

NO se deduce necesariamente que:

\( \left(bP_n\right)^n=m^n \)
\( \left(bQ_n\right)^n=2\sqrt{a_n^nm^n} \)

Es decir en general de \( R+S=T+U \) no se deduce que \( R=T \) y \( S=U \).

Por ejemplo:

\( 5^3+12^3=7^3+1510 \)

pero obviamente \( 5^3\neq 7^3 \) y \( 12^3\neq 1510 \).

Tu razonamiento es acertado, pero no está completo ni contextualizado, con tu permiso tomaré tu ejemplo:

\( 5^3+12^3=7^3+1510 \)

Lo agruparemos de esta manera:

\( 5^3+12^3=(\sqrt[3]{7^3+1510})^3 \)

Por tanto:

\( a_3^3 = 5^3 \)
\( b_3^3 = 12^3 \)
\( c_3^3 = (\sqrt[3]{7^3+1510})^3 \)

Recordemos el caso n = 3:

\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}

Entonces:

\( r^3 = -250+\sqrt[ ]{926500} \)
\( m^3 = 1978-\sqrt[ ]{926500} \)

Ahora, contextualicemos la expresión para n= 3:

\( \left(bP_3\right)^3+\ \left(bQ_3\right)^3 \) = \( m^3+2\sqrt{a_3^3m^3} \)

Recordemos que \( P_3^3+Q_3^3=1 \)

Entonces:
\( P_3^3 = \frac{1978-\sqrt[ ]{926500}}{12^3} \)
\( Q_3^3 = \frac{-250+\sqrt[ ]{926500}}{12^3} \)

Por tanto:

\( (b\sqrt[3]{\frac{1978-\sqrt[ ]{926500}}{12^3}})^3+(b\sqrt[ ]{\frac{-250+\sqrt[]{926500}}{12^3}})^3 = (\sqrt[ ]{1978-\sqrt[]{926500}})^3 + 2\sqrt[ ]{5^3(\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3} \)


Aquí es donde cabe tu observación y cito textualmente tu razonamiento en color rojo:

No se deduce necesariamente que \( (b\sqrt[3]{\frac{1978-\sqrt[ ]{926500}}{12^3}})^3 \) sea igual a \( (\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3 \)

No discuto tu razonamiento, pero como indique no es completo ni contextualizado, observa ahora esto
Si \( b = \frac{m}{P_3} \), tenemos:

\( b = 12 \), si sustituimos este valor de \( b \) en esta expresión: \( (b\sqrt[3]{\frac{1978-\sqrt[ ]{926500}}{12^3}})^3 \) tenemos: \( (\sqrt[3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3 \),
Entonces:

\( (12\sqrt[3]{\frac{1978-\sqrt[ ]{926500}}{12^3}})^3 + (12\sqrt[ 3]{\frac{-250+\sqrt[]{926500}}{12^3}})^3 = (\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3 + 2\sqrt[ ]{5^3(\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3} \)

Simplificando:
\( (\sqrt[3]{1978-\sqrt[ ]{926500}})^3 + (\sqrt[ 3]{-250+\sqrt[]{926500}})^3 = (\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3 + 2\sqrt[ ]{5^3(\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3} \)

Que nos recuerda esta expresión:

\( m^3+r^3 \) = \( m^3+2\sqrt{a_3^3m^3} \)

Al terminar de simplificar la expresión anterior tenemos:

\( 12^3 = 12^3 \)

Son la misma cosa.

Por cierto, si ves las variables \( m, r \) son irracionales, porque \( a_3 \) es racional, como ya había indicado, si \( m, r \) son racionales, entonces \( a_3 \) es irracional.

Ahora si consideras que \( m = 5, r = 12 \), sucede esto:

Volviendo a tu argumento:

\( 5^3+12^3=7^3+1510 \)

Ahora, contextualicemos la expresión para n= 3:

\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}

Podemos calcular los valores de \( a_3, b_3, c_3 \), tenemos entonces:
\( a_3 = \frac{144}{5}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \)
\( b_3 = 5^3 + 12^3 \)
\( c_3 = \sqrt[3]{\frac{746496}{125}} \)

Tomando en cuenta la expresión:

\( m^3+r^3 \) = \( m^3+2\sqrt{a_3^3m^3} \)

Tenemos entonces:

\( 5^3+12^3 = 5^3 + 12^3 \)

Como vez, tu razonamiento esta bien, pero no esta completo ni contextualizado

Saludos

[manooooh]

Hola

Tu razonamiento es acertado, pero no está completo ni contextualizado, con tu permiso tomaré tu ejemplo:

\( 5^3+12^3=7^3+1510 \)

Lo agruparemos de esta manera:

\( 5^3+12^3=(\sqrt[3]{7^3+1510})^3 \)

Por tanto:

\( a_3^3 = 5^3 \)
\( b_3^3 = 12^3 \)
\( c_3^3 = (\sqrt[3]{7^3+1510})^3 \)

No entiendo mucho del tema de ternas pitagóricas y todo eso, pero ¿tú mismo no has dicho que el razonamiento de Luis es correcto?

La modificación que propones, ¿cómo se relaciona entonces con tu razonamiento inicial?

Si no me equivoco, tú en un principio tenías una suma del lado derecho, pero si expresas \( a+b=(\sqrt[3]{a+b})^3 \) entonces ya no son 2 términos sino 1 solo del lado derecho. Por eso el ejemplo de Luis creo que ataca principalmente a la falsa deducción de que si tenemos \( a+b=c+d \), debe deducirse \( a=c,b=d \) porque es falso.

Saludos

[DRU]

Hola

No entiendo mucho del tema de ternas pitagóricas y todo eso, pero ¿tú mismo no has dicho que el razonamiento de Luis es correcto?

La modificación que propones, ¿cómo se relaciona entonces con tu razonamiento inicial?

Si no me equivoco, tú en un principio tenías una suma del lado derecho, pero si expresas \( a+b=(\sqrt[3]{a+b})^3 \) entonces ya no son 2 términos sino 1 solo del lado derecho. Por eso el ejemplo de Luis creo que ataca principalmente a la falsa deducción de que si tenemos \( a+b=c+d \), debe deducirse \( a=c,b=d \) porque es falso.

Como tu lo dices: \( a+b=c+d \), no se puede deducir que \( a=c,b=d \) porque es falso.

la situación es que no es ese el contexto, tal cual, por eso le indique a Luis que su razonamiento es correcto, pero no esta completo ni contextualizado. En tu caso sucede lo mismo, supones que \( a, b, c, d \) no tienen ninguna relación, si es así, entonces es válido tu razonamiento, pero en el contexto en que hago la premisa, el contexto es diferente, porque las variables vienen de un razonamiento y no son puestas al azar.

Usare tu ejemplo: \( a+b=c+d \), tratare de resumir lo más que pueda
Sea \( z \) una variable

Tenemos entonces:

\( z = c+d \)

Sea \( p+q = 1 \)

Si multiplico \( z \) por la expresión anterior tenemos:

\( (zp) + (zq) = c + d \),

Entonces: \( a = (zp); b = (zq) \), podemos comparar:

1. \( (zp) + (zq) = c + d \)
2. \(   a    +  b = c + d \)

Si tomamos \( a, b, c, d \) como variables sin relación, entonces como tu dices: \( a+b=c+d \), no se puede deducir que \( a=c,b=d \) porque es falso.
Pero en este razonamiento, SI están relacionados, mira:

Partimos de esto: \( (zp) + (zq) = c + d \),

Si \( z = \frac{c}{p} \) tienes:

\( (\frac{c}{p}p) + (\frac{c}{p}q) = c + d \)

Simplificando:

\( c + (\frac{cq}{p}) = c + d \)

Entonces: \(  (\frac{cq}{p}) = d \), por tanto:

\( c + d = c + d \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Recordemos el caso n = 3:

\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}

Entonces:

\( r^3 = -250+\sqrt[ ]{926500} \)
\( m^3 = 1978-\sqrt[ ]{926500} \)

¡Pero si partes de ahí claro que no vas a encontrar problemas!¡Claro que tus dos "emes" van a ser la misma, porque en ese caso NO hay dos emes!.

Precisamente yo lo que critico es que no puedes deducir estas expresiones:

\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\end{pmatrix}

si PRETENDES que el \( m \) y el \( r \) sean los que traías de antes en tu razonamiento.

Tu partes de aquí:

\( \begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix} \)

de ahí obtienes \( m \) como un RACIONAL cumpliendo \( \color{red}\cancel{m^2=y^2}m^n=y^2\color{black} \). Y jugando con esas expresiones llegas a:

\( b_n^n=m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)

Ahora de otra forma DIFERENTE dices que existen racionales \( m',r \) tales que \( b_n^n=m'^n+r^n \). Y lo que te digo es que NADA te garantiza que \( m=m' \).

La trampa que haces en tus ejemplos es partir de aquí:

\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}

De ahí despejas \( m,r \) en función de \( a_3,b_3 \) y todo cuadra (bueno, casi todo como te matizaré en un momento)...¡claro!. Hallas \( P,Q \) ajustados con esos valores de \( m,r \). Bien.

Problema: hecho así NADA garantiza que esos \( m,r \) sean racionales. Con lo cual tu razonamiento no vale para nada. Porque tu pretendes concluir que \( a_n \) no puede ser racional porque es de la forma  \( \dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}} \), con \( m,r \) racionales. Si \( m,r \) no son racionales: adiós al argumento.

Saludos.

P.D. Y por cierto que más allá de todo esto, está la otra crítica todavía más importante en tu argumento. Si todo eso estuviera bien, sólo estarías probando que es imposible que \( (a,b,c) \) racionales cumplan \( a^n+b^n=c^n \) si al mismo tiempo \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \) son racionales. Pero quedaría abierta la posibilidad de que existiesen \( (a,b,c) \) cumpliendo \( a^n+b^n=c^n \) pero tales que \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \)  no son racionales.

CORREGIDO

[DRU]

Hola

¡Pero si partes de ahí claro que no vas a encontrar problemas!¡Claro que tus dos "emes" van a ser la misma, porque en ese caso NO hay dos emes!.

Luis, creo que ya vas por buen camino comprendiendo el razonamiento, partiendo de la expresión antes mencionada, llegas a comprender como tu dices dos "emes" son la misma; lo que sucede es que aún te confunde esta expresión: \( b_n^n = (b_nP_n)^n+(b_nQ_n)^n \), explicaré esto más a fondo, mientras tanto, quédate con la idea que partiendo de la expresión antes mencionada no va haber problema, pues las dos "emes son lo mismo"

Tu partes de aquí:

\( \begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix} \)

de ahí obtienes \( m \) como un RACIONAL cumpliendo \( m^2=y^2 \). Y jugando con esas expresiones llegas a:

\( b_n^n=m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)

Luis, cada vez vas comprendiendo más el razonamiento, hasta este punto es correcto. Solo te confundiste un poco en el texto en rojo, pues la expresión correcta es: \( m^n=y^2 \), en cuanto a que \( m \) o \( y^2 \) son RACIONALES, también pueden ser IRRACIONALES ESPECIALES (ya lo expliqué con ejemplos numéricos), lo se, parece que no tiene sentido que eso sea RACIONAL o también IRRACIONAL, parece que no tiene relevancia, pero como verás hasta el final, en algún momento \( m \) tendrá NECESARIAMENTE que ser racional, pues el enunciado (REF.01) así lo dicta.

Ahora de otra forma DIFERENTE dices que existen racionales \( m',r \) tales que \( b_n^n=m'^n+r^n \). Y lo que te digo es que NADA te garantiza que \( m=m' \).

Comprendo que aquí radica tu duda, verás Luis, la situación, quizás no me he sabido expresar explícitamente, es que \( b_n \), puede expresarse de dos maneras diferentes y ambas son la misma cosa. Un ejemplo a lo absurdo:

Considera el número \( 7 \) (mi número favorito), este puede escribirse así: \( 4+3 = 7 \), pero también: \( 10 - 3 = 7 \)
Esta es la idea en que se basa el razonamiento, que quizás no me he sabido explicar con lujo de detalle, por favor, no pierdas la idea de este concepto.

Ahora, usando esa idea anteriormente, puedo escribir \( b_n \) de dos maneras diferentes:

1. \( b_n^n = m^n + 2\sqrt[ ]{a^nm^n} \)

2. \( b_n^n = (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \)                                       (Recuerda que \( P_n^n + Q_n^n = 1, P_n, Q_n \) son racionales y además hay infinitos valores para cada \( n \)

Lo que hice es partir de un valor \( b_n \) (usando el ejemplo absurdo este sería equivalente a 7) y usar dos razonamientos en paralelo para llegar a las expresiones (1 y 2), ya que son prácticamente lo mismo, entonces ahí formamos la expresión:

\( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) = \( m^n + 2\sqrt[ ]{a^nm^n} \)

Son dos expresiones que valen lo mismo, pero están escritas en forma diferente (por ser dos expresiones diferentes aquí es donde haces tus críticas \( m = m_1 \), no se garantiza)

Pero sabiendo que esta expresión: \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) VALE lo mismo que esta:  \( m^n + 2\sqrt[ ]{a^nm^n} \)

Entonces lo que hago es convertir esta expresión \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) en la otra, pues VALEN lo mismo. (usando el ejemplo que te di: 4 + 3 = 10 - 3, por supuesto que 4 \( \neq \) 10 ni que 3\( \neq \)-3, lo que hacemos es convertir 4 + 3 en la expresión 10 - 3, para obtener la igualdad 10 - 3 = 10 - 3, no hemos cambiado el valor, sino la forma en que esta escrita)

Al sustituir \( b_n = \frac{m}{P_n} \) en la expresión: \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \), no estoy cambiando su VALOR sino la forma en que esta expresada

De ahi tu comentario:

¡Pero si partes de ahí claro que no vas a encontrar problemas!¡Claro que tus dos "emes" van a ser la misma, porque en ese caso NO hay dos emes!.

cobra sentido, al ver que son las mismas emes

De ahí despejas \( m,r \) en función de \( a_3,b_3 \) y todo cuadra (bueno, casi todo como te matizaré en un momento)...¡claro!. Hallas \( P,Q \) ajustados con esos valores de \( m,r \). Bien.

Muy acertado, con los valores \( m, r \), puedes calcular \( a_3, b_3, c_3 \), explicaré hasta el final un poco más sobre \( m ,r \)

Problema: hecho así NADA garantiza que esos \( m,r \) sean racionales. Con lo cual tu razonamiento no vale para nada.

Aquí estas equivocado.

Situémonos en esta expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), entonces la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL. Una vez que existan RACIONALES entonces también habrán IRRACIONALES ESPECIALES.

Porque tu pretendes concluir que \( a_n \) no puede ser racional porque es de la forma  \( \dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}} \), con \( m,r \) racionales. Si \( m,r \) no son racionales: adiós al argumento.

Verás, como lo he expliqué anteriormente según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), entonces la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL, si solo consideramos que \( m, r \) fueran irracionales especiales como tú lo planteas, entonces estaríamos contradiciendo el enunciado (REF.01): Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), puesto que estaríamos afirmando que no existe NINGÚN racional que cumpla \( a^n+b^n=c^n \)

Saludos.

... Si todo eso estuviera bien, sólo estarías probando que es imposible que \( (a,b,c) \) racionales cumplan \( a^n+b^n=c^n \) si al mismo tiempo \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \) son racionales...

En ninguna parte he dicho eso...

Mira, haré un resumen de todo para que tengas una idea más precisa:

Partimos de esto:

\( a_n^n + b_n^n = c_n^n \)

Luego, la convertimos en una expresión en función de dos variables \( s, y \):

\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}

Luego a esta otra, veamos los dos posibles valores de \( m , w \). Situémonos en: \( b_n=m.w \), ya que \( b_n \) es racional, entonces \( m, r \) pueden ser racionales (ya que el producto de dos racionales es otro racional) o pueden ser irracionales especiales.

\begin{pmatrix}{a_n=\ m\sqrt[n]{\left(\frac{w^n-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=m.w}\\{m\sqrt[n]{\left(\frac{w^n+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}

Para luego finalizar en esta:

\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}

Y de esta expresión, usaremos el enunciado (REF.01): Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), para deducir que la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL, por lo tanto cuando \( m, r \) sean racionales entonces \( a_n \) será irracional para todo \( n>2 \)

Mira, te propongo algo, en esta expresión:

\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}

juega con las variables \( m, r \) dale los valores que tú quieras ya sean racionales o irracionales, usando cualquier \( n \).

Si al sustituir los valores de las variables \( m, r \) en \( (a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}} \)) y (\( b_n^n=\ m^n+r^n \)), no obtienes esta: \( (c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}) \) al realizar la operación: \( a_n^n + b_n^n = c_n^n \), entonces todo todo lo que he escrito no tendría sentido, pues toda la demostración se basa en la premisa de estructura, pero si por el contrario vez que si se cumple, entonces razona esto: ¿Qué sucede con \( a_n \) si \( m, r \) son racionales?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Luis, creo que ya vas por buen camino comprendiendo el razonamiento, partiendo de la expresión antes mencionada, llegas a comprender como tu dices dos "emes" son la misma; lo que sucede es que aún te confunde esta expresión: \( b_n^n = (b_nP_n)^n+(b_nQ_n)^n \), explicaré esto más a fondo, mientras tanto, quédate con la idea que partiendo de la expresión antes mencionada no va haber problema, pues las dos "emes son lo mismo"

Si, de manera más precisa si sólo partes de esa expresión, NO HAY DOS emes.

Luis, cada vez vas comprendiendo más el razonamiento, hasta este punto es correcto.

Desde mi punto de vista y por lo que me has contestado hasta ahora, inlcuido este mensaje, el razonamiento que intentas lo comprendo desde el principio. Y está mal. No concluye nada útil sobre el Teorema de Fermat.

Solo te confundiste un poco en el texto en rojo, pues la expresión correcta es: \( m^n=y^2 \),

Si, fue una errata al escribir.

Een cuanto a que \( m \) o \( y^2 \) son RACIONALES, también pueden ser IRRACIONALES ESPECIALES (ya lo expliqué con ejemplos numéricos), lo se, parece que no tiene sentido que eso sea RACIONAL o también IRRACIONAL, parece que no tiene relevancia,

¡Desde luego que tiene relevancia! Por que si son IRRACIONALES todo tu desarrollo, como ya he indicado, no vale para nada.

pero como verás hasta el final, en algún momento \( m \) tendrá NECESARIAMENTE que ser racional, pues el enunciado (REF.01) así lo dicta.

No. Ese es tu error. No das ninguna razón correcta que sustente que \( m \) es necesariamente racional.

Ahora, usando esa idea anteriormente, puedo escribir \( b_n \) de dos maneras diferentes:

1. \( b_n^n = m^n + 2\sqrt[ ]{a^nm^n} \)

2. \( b_n^n = (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \)                                       (Recuerda que \( P_n^n + Q_n^n = 1, P_n, Q_n \) son racionales y además hay infinitos valores para cada \( n \)

Hasta ahí de acuerdo.... con un matiz.

¿De dónde te sacas que fijado \( n \), hay INFINITOS racionales cumpliendo  \( P_n^n + Q_n^n = 1 \)?. He leído tu primer mensaje donde se supone que justificas eso; pero está mal. Allí lo afirmas al final, pero en realidad nada de lo que haces antes lo justifica.

De hecho me he dado cuenta que además de todos los errores que te estoy marcando tienes un error conceptual desde el principio. Pretendes razonar por reducción al absurdo (tu le llamas "por contraejemplo"). Pero que el Teorema de Fermat sea falso significa que existe algún exponente \( n\geq 3 \) y naturales \( (a,b,c) \) tales que \( a^n+b^n=c^n \); pero tu pones que PARA TODO \( n\neq 3 \), existen naturales bla, bla, bla... Eso es más fuerte que negar el Teorema de Fermat.  Conste que inlcuso con tu interpretación siguen estando mal los otros argumentos que te he indicado.

Volviendo a lo que te decía antes. Que exista para \( n=3 \) una terna \( a^3+b^3=c^3 \) significa que, dividiendo por \( c \), puedes llegar a: \( (a/c)^3+(b/c)^3=1 \). Por tanto existe un par de racionales \( P_3,Q_3 \) tales que \( P_3^3+Q_3^3=1 \). Pero entiendo que tu afirmas que hay infinitos. Es decir afirmas que hay infinitos pares de racionales \( (P,Q) \) verificando \( P^3+Q^3=1. \) ¿Es así?¿Afirmas eso? En ese caso, ¿cómo lo demuestras?.

Leyendo tu primer mensaje parece que todo lo basas en pasar de \( (a,b,c) \) cumpliendo \( a^n+b^n=c^n \) a la terna \( (A_0,A_1,A_2)=(a^{n/k},b^{n/k},c^{n/k}) \) cumpliendo \( A_0^k+A_1^k=A_2^k \).

El problema es que esa terna  \( (A_0,A_1,A_2)=(a^{n/k},b^{n/k},c^{n/k}) \) , podría ser de IRRACIONALES ("especiales" les llamas). Lo curioso es que tu mismo apuntas esa posibilidad; sin embargo cuando te conviene le das a esas ternas categorías de racionales, olvidando que pueden ser irracionales, sin mayor justificación.

Pero sabiendo que esta expresión: \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) VALE lo mismo que esta:  \( m^n + 2\sqrt[ ]{a^nm^n} \)

Entonces lo que hago es convertir esta expresión \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) en la otra, pues VALEN lo mismo. (usando el ejemplo que te di: 4 + 3 = 10 - 3, por supuesto que 4 \( \neq \) 10 ni que 3\( \neq \)-3, lo que hacemos es convertir 4 + 3 en la expresión 10 - 3, para obtener la igualdad 10 - 3 = 10 - 3, no hemos cambiado el valor, sino la forma en que esta escrita)

Al sustituir \( b_n = \frac{m}{P_n} \) en la expresión: \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \), no estoy cambiando su VALOR sino la forma en que esta expresada

Al sustituir \( b_n = \frac{m}{P_n} \), con el \( m \) que tenías antes., hay varias opciones:

- Si pretendes que \( P_n,Q_n \) eran racionales prefijados cumpliendo \( P_n^n+Q_n^n=1 \), estás cambiando el valor de \( b_n \) porque nada te garantiza que ese \( m/P_n \) coincida con el \( b_n \) de antes.

- O bien si, entendiendo que \( b_n \) y \( m \) vienen fijados de antes y escoges \( P_n \) cumpliendo \( b_n = \frac{m}{P_n} \), entonces nada te garantiza que exista un \( Q_n \) racional tal que \( P_n^n+Q_n^n=1 \). Y si pierdes la "racionalidad" de las variables implicadas.. adiós al argumento.

- Si resulta que el \( m \) no venía prefijado de antes, entonces de acuerdo. \( b_n^n=m^n+r^n \), con \( m,n \) racionales. Pero ANTES decías también que \( b_n^n=m^n+2\sqrt{a_nm^m} \). ¿Ese \( m \) es viejo o nuevo?. Si es nuevo, entonces también estás escogiendo un nuevo \( a_n \) que cumpla esta igualdad  \( b_n^n=m^n+2\sqrt{a_nm^m} \). Es decir ese \( a_n \) no tiene nada que ver con el inicial. Entonces todo tu argumento no descartaría que la terna INICIAL, fuese una posible terna racional solución de la ecuación de Fermat. Al respecto de esto es bueno que eches un vistazo a los ejemplos que he puesto al final de este hilo.

Aquí estas equivocado.

Situémonos en esta expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), entonces la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL. Una vez que existan RACIONALES entonces también habrán IRRACIONALES ESPECIALES.

Exacto como mínimo UN valor de \( m,r \). Pero no el valor que a ti te de la gana o te interese en cada caso. Y el valor de \( m \) lo tenías fijado antes.

Verás, como lo he expliqué anteriormente según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), entonces la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL, si solo consideramos que \( m, r \) fueran irracionales especiales como tú lo planteas, entonces estaríamos contradiciendo el enunciado (REF.01): Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), puesto que estaríamos afirmando que no existe NINGÚN racional que cumpla \( a^n+b^n=c^n \)

No. Lo que yo digo es que, fijado \( b_n \), hay infinitas parejas de números reales \( (m,r) \) verificando que\(  b_n=m^n+r^n \). Tenemos garantizada bajo el supuesto de existencia de una solución entera de la ecuación para \( n=3 \), que al menos UNA de esas parejas es de racionales. Pero no para el valor de m que nos de la gana; sino para uno concreto (el que sea).

... Si todo eso estuviera bien, sólo estarías probando que es imposible que \( (a,b,c) \) racionales cumplan \( a^n+b^n=c^n \) si al mismo tiempo \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \) son racionales...

En ninguna parte he dicho eso...

Lo "dices" cuando partes de aquí:

\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}

¿A qué viene esa expresión si no es del caso \( n=2 \)?.

Luego a esta otra, veamos los dos posibles valores de \( m , w \). Situémonos en: \( b_n=m.w \), ya que \( b_n \) es racional, entonces \( m, r \) pueden ser racionales (ya que el producto de dos racionales es otro racional) o pueden ser irracionales especiales.

Si admites que \( m,r \) PUEDEN SER IRRACIONALES.. ¡de acuerdo!. Pero entonces...¡adios a tu argumento final!.

Para luego finalizar en esta:

\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}

Y de esta expresión, usaremos el enunciado (REF.01): Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), para deducir que la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL, por lo tanto cuando \( m, r \) sean racionales entonces \( a_n \) será irracional para todo \( n>2 \)

¡Entramos en bucle!. Pero es que el valor de \( m \) lo traías prefijado de antes. No tiene porque coincidir con ese valor que sabemos que verifica  \( b_3^3 = m^3 + r^3 \). ¡Lo acabas de recordar tu mismo!. Ese valor de \( m \) venía de aquí:

\( \begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix} \)

y luego \( m^n=y^2 \).

Mira, te propongo algo, en esta expresión:

\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}

juega con las variables \( m, r \) dale los valores que tú quieras ya sean racionales o irracionales, usando cualquier \( n \).

Si al sustituir los valores de las variables \( m, r \) en \( (a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}} \)) y (\( b_n^n=\ m^n+r^n \)), no obtienes esta: \( (c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}) \) al realizar la operación: \( a_n^n + b_n^n = c_n^n \), entonces todo todo lo que he escrito no tendría sentido, pues toda la demostración se basa en la premisa de estructura, pero si por el contrario vez que si se cumple, entonces razona esto: ¿Qué sucede con \( a_n \) si \( m, r \) son racionales?

No sé que me quieres decir con esto. Ya sé que con esas expresiones siempre es cierto que \( a^n+b^n=c^n \). Pero el problema es que no tenemos garantizado que \( m,r \) sean racionales. Es más, en esa misma línea también funcionan estas igualdades:

\begin{pmatrix}{a_n=\dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\dfrac{1}{\color{red}k^2\color{black}}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\dfrac{r^n}{\color{red}k\color{black}\sqrt{m^n}}\right)^2+\color{red}\dfrac{(k-2)r^n}{k}\color{black}}}\end{pmatrix}

Puedes poner el valor de \( k \) que te de la gana. Por ejemplo \( k \) cualquier número primo. Siempre se cumple que \( a_n^n+b_n^n=c_n^n \) Entonces si \( m,n \) son racionales \( a_n \) no puede serlo. ¿Prueba esto el Teorema de Fermat? ¿Prueba eso que no existen racionales \( a,b,c \) tales que \( a^n+b^n=c^n \)?.

O más simpático...

\( a_2=\dfrac{m}{n}\sqrt{2} \)

\( b_2^2=m^2+n^2 \)

\( c_2=\sqrt{m^2+n^2+(2m^2/n^2)} \)

cumplen \( a_2^2+b_2^2=c_2^2 \). Pero si \( m,n \) son racionales... \( a_2 \) no puede serlo. ¿Prueba esto que no existen racionales \( a,b,c \) cumpliendo \( a^2+b^2=c^2 \)?.

En fin...

Saludos.

[DRU]

Hola

¿De dónde te sacas que fijado \( n \), hay INFINITOS racionales cumpliendo  \( P_n^n + Q_n^n = 1 \)?.

Considera:
\( a^n+b^n = c^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( a, b, c \)
\( d^n+e^n = f^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( d, e, f \)
\( g^n+h^n = i^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( g, h, i \)

Si el enunciado (REF.01) es cierto, entonces habrán infinitas ternas, si hay infinitas ternas, habrán infinitas ternas \( P_n, Q_n \) para \( P_n^n+Q_n^n \)

Así como tú lo dices:

...Que exista para \( n=3 \) una terna \( a^3+b^3=c^3 \) significa que, dividiendo por \( c \), puedes llegar a: \( (a/c)^3+(b/c)^3=1 \). Por tanto existe un par de racionales \( P_3,Q_3 \) tales que \( P_3^3+Q_3^3=1 \).

En cuanto a las "emes", te lo mostraré desde otro punto de vista:

Partamos de esto:

\( b_3^3 = m^3 + 2\sqrt[ ]{a_3^3m^3} \)

Si \( z^3 = 2\sqrt[ ]{a_3^3m^3} \), entonces:

\( b_3^3 = m^3 + z^3 \)

por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \)

Entonces despejo \( a_3 \) y tenemos:

\( a_3 = \frac{z^2}{m}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \) como lo vimos anteriormente por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \), no estoy diciendo que todos los valores \( b_3, m, z \), sino por lo menos uno.                         

Y esa es la situación Luis, que por el enunciado (REF.01) tendría que haber por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \), por ese único valor que existe es que \( a_3 \) llega hacer irracional

Desde otra perspectiva: para que \( a_3 \) sea racional, entonces \( m \) o \( r \) tendrían que ser SIEMPRE irracionales, entones no se cumpliría el enunciado (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) ..."

Lo "dices" cuando partes de aquí:

Lo que yo digo es esto:

\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}

No esto:

sólo estarías probando que es imposible que \( (a,b,c) \) racionales cumplan \( a^n+b^n=c^n \) si al mismo tiempo \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \) son racionales.

Te falto colocar la \( n \) en los radicales: \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \)

¿A qué viene esa expresión si no es del caso \( n=2 \)?.

Me da la impresión que tu piensas esto: sea \( (3k)^2 + (4k)^2 = (5k)^2 \) que es una solución racional para \( n=2 \) y que luego de esa solución partamos a esto: \( (3k)^n + (4k)^n = (5k)^n \) pretendiendo que esta sea una solución racional para todo \( n \), esto NO es lo que doy a entender, sino la idea de usar una estructura como ya te indiqué en los comentarios anteriores sobre el uso de las estructuras

Es más, en esa misma línea también funcionan estas igualdades:

\begin{pmatrix}{a_n=\dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\dfrac{1}{\color{red}k^2\color{black}}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\dfrac{r^n}{\color{red}k\color{black}\sqrt{m^n}}\right)^2+\color{red}\dfrac{(k-2)r^n}{k}\color{black}}}\end{pmatrix}

Luis, déjame felicitarme primero, eres grande entre los grandes, esta expresión está muy chula.
Después del saludo, paso a las observaciones:

Desde tu expresión, se puede observar que ya no son solo dos variables sino tres, eso cambia el juego, para que comprendas, partamos de tu expresión:

O más simpático...

\( a_2=\dfrac{m}{n}\sqrt{2} \)

\( b_2^2=m^2+n^2 \)

\( c_2=\sqrt{m^2+n^2+(2m^2/n^2)} \)

Situémonos en la expresión: \( b_2^2=m^2+n^2 \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( b_2, m, n \)
(desde este punto vista, entonces \( a_2 \) es irracional, y todo el razonamiento al carajo.. ¿o NO?)

Resulta Luis que como tú lo indicas:

Puedes poner el valor de \( k \) que te de la gana

(en tu caso has elegido esto \( k = \frac{nr^2}{m^2\sqrt[ ]{2}} \))

Resulta que la línea de investigación se central en \( k \), puesto que por el enunciado (REF.01) por lo menos habrá un valor de \( m, n \) que sea racional, entonces habría que determinar si existe algún \( k \) que permita que \( a_2 \) sea racional, siendo \( m, n \) racionales

Y resulta que para \( n=2 \), si existe tal \( k \).

Si \( k = 2 \), entonces \( a_2 = \frac{n^2}{2m} \) y por tanto \( a_2 \) es racional siendo \( m, n \) racionales


Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Considera:
\( a^n+b^n = c^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( a, b, c \)
\( d^n+e^n = f^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( d, e, f \)
\( g^n+h^n = i^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( g, h, i \)

Si el enunciado (REF.01) es cierto, entonces habrán infinitas ternas, si hay infinitas ternas, habrán infinitas ternas \( P_n, Q_n \) para \( P_n^n+Q_n^n \)

No entiendo lo que haces ahí. Repites muchas veces la misma frase cambiando el nombre de las letras. ¿Eso hace que salgan infinitas?¿Por qué cambias el nombre a las letras?. ¿Por que no son las mismas en cada renglón?.

En enunciado (REF.01) tu lo has escrito así:

Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad:

(REF.01)

\( a^n + b^n = c^n \)

Es decir para \( n=3 \) existen racionales positivos \( a,b,c \) tales que \( a^3+b^3=c^3 \).

1) ¿Has querido decir en ese enunciado existen INFINITOS racionales positivos? Si es eso, pues nada que decir. Lo afirmas por decreto. Es parte de tu suposición. Ok.

2) Lo que yo entendía es que eso significaba es que para \( n=3 \) existe AL MENOS tres racionales \( a^3+b^3=c^3. \) Con esta interpretación no veo de donde te sacas los infinitos cumpliendo \( P^3+Q^3=1 \) (si existen infinitos racionales dividiendo la terna inicial por una constate; pero si fuerzas que esté la suma igualda a uno sólo puedes dividir por \( c \)).

Aclárame a cuál de las dos interpretaciones te refieres si (1) y (2).

Vaya por delante que si quieres probar el Teorema de Fermat tienes que probar que no puede existir un \( n \) para el cual la ecuación \( a^n+b^n=c^n \) tenga soluciones enteras. Es decir tu enunciado REF.01 es más fuerte que la negación del Teorema de Fermat.

En cuanto a las "emes", te lo mostraré desde otro punto de vista:

Partamos de esto:

\( b_3^3 = m^3 + 2\sqrt[ ]{a_3^3m^3} \)

Si \( z^3 = 2\sqrt[ ]{a_3^3m^3} \) (*), entonces:

\( b_3^3 = m^3 + z^3 \)

¿Y ese \( z \) es racional?¿Por qué? No tiene porque serlo.

por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \)

Aquí vuelves a cometer el error. ¿El \( z \) es el que obtienes por está fórmula (*) o es un \( z \) que viene de algunas ternas de racionales (no las que nosotros queramos) que cumplen \( b_3^3=m^3+z^3 \)? O una cosa o la otra: pero no justificas por ningún lado que se tengan que cumplir ambas al tiempo.

Una y otra y otra y otra vez repites el mismo error.

Entonces despejo \( a_3 \) y tenemos:

\( a_3 = \frac{z^2}{m}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \) como lo vimos anteriormente por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \), no estoy diciendo que todos los valores \( b_3, m, z \), sino por lo menos uno.                     

Y esa es la situación Luis, que por el enunciado (REF.01) tendría que haber por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \), por ese único valor que existe es que \( a_3 \) llega hacer irracional

Aquí más de lo mismo. ¿El \( a_3 \) venía prefijado o lo escoges con esa pinta \( a_3 = \frac{z^2}{m}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \)?.

- Si \( a_3,b_3,c_3 \) venían prefijados como una terna que cumplía \( a_3^3+b_3^3=c_3^3 \) y querías analizar si es posible que los tres sean o no racionales, entonces los valores de \( m,z \) dependen de \( a_3 \). NO SON Los que tu quieras. NO SON esos racionales que cumplen \( b_3=m^3+z^3 \). Es aquí donde hay "emes" distintas.

- Si por el contrario el valor de \( a_3 \), lo defines así \( a_3 = \frac{z^2}{m}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \), entonces ¡claro que es irracional!. Pero así solo pruebas que no existen ternas racionales  \( a_3,b_3,c_3 \)  cumpliendo \( a_3^3+b_3^3=c_3^3 \) con esa forma particular que TU le has FORZADO a \( a_3 \). La demostración es tan absurda como las variantes que yo te he mostrado y que igualmente servirían para probar que tampoco hay ternas racionales para \( n=2 \) (lo cual es falso).

O más simpático...

\( a_2=\dfrac{m}{n}\sqrt{2} \)

\( b_2^2=m^2+n^2 \)

\( c_2=\sqrt{m^2+n^2+(2m^2/n^2)} \)

Situémonos en la expresión: \( b_2^2=m^2+n^2 \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( b_2, m, n \)
(desde este punto vista, entonces \( a_2 \) es irracional, y todo el razonamiento al carajo.. ¿o NO?)

No se que me has querido decir ahí, francamente. Mi pregunta es. ¿Ese razonamiento que he puesto probaría que no hay ternas racionales para \( n=2 \)?¿Por qué no?¿Dónde está el error?. Si el único error es que sabemos que realmente si hay ternas para \( n=2 \), eso ¡ya!. Pero la cuestión es que indiques que es lo que para ti falla ahí.

Resulta Luis que como tú lo indicas:

Puedes poner el valor de \( k \) que te de la gana

(en tu caso has elegido esto \( k = \frac{nr^2}{m^2\sqrt[ ]{2}} \))

Resulta que la línea de investigación se central en \( k \), puesto que por el enunciado (REF.01) por lo menos habrá un valor de \( m, n \) que sea racional, entonces habría que determinar si existe algún \( k \) que permita que \( a_2 \) sea racional, siendo \( m, n \) racionales

Y resulta que para \( n=2 \), si existe tal \( k \).

Si \( k = 2 \), entonces \( a_2 = \frac{n^2}{2m} \) y por tanto \( a_2 \) es racional siendo \( m, n \) racionales

¿Y si encuentro un \( k \) para el cual \( a_3 \) es racional siendo \( m,n \) racionales?. ¿Entonces ya no funciona tu demostración?¿qué pasa entonces?.

Por ejemplo para \( k=8 \):

\( a_n=\dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\dfrac{1}{\color{red}k^2\color{black}}}=\dfrac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\dfrac{1}{\color{red}64\color{black}}}=\dfrac{r^2}{4m} \) es racional.

Saludos.

[DRU]

Hola

Repites muchas veces la misma frase cambiando el nombre de las letras

Es decir, que cada expresión con letras diferentes, representan cantidades diferentes y por eso se obtienen racionales diferentes

Aclárame a cuál de las dos interpretaciones te refieres si (1) y (2).

Podría decirse que la (1), te explico:
\( a, b, c \) serán racionales suponiendo que el enunciado es verdadero.
¿pero qué representan estas variables? un solo valor? o varios?
Pues, representan varios valores, por así decirlo, son un rango o conjunto de valores. ¿y cuál es mi base para suponer eso? Pues verás, supongamos que tomamos una terna de esas infinitas que tiene, digamos que sea \( a_1, b_1, c_1 \), ahora si esta terna la multiplico por un valor racional digamos \( v \) obtengo esto: \( (a_1v)^n+(b_1v)^n =(c_1v)^n \), entonces esta es otra terna racional, digamos \( (a_2)^n+(b_2)^n=(c_2)^n \), luego si a esta terna la multiplico por otro valor racional, digamos \( u \), obtenemos esto: \( (a_2u)^n+(b_2u)^n =(c_2u)^n \), entonces esta es otra terna racional, digamos \( (a_3)^n+(b_3)^n=(c_3)^n \), entonces, a todas esas \( a_n, b_n, c_n \) (que son ternas racionales) las reunimos en un conjunto, y ese conjunto lo denotaremos como \( a, b, c \) (significa que para todos los subconjuntos de \( a, b, c \) todos ellos son racionales)

Es decir tu enunciado REF.01 es más fuerte que la negación del Teorema de Fermat.

No es que sea más fuete, solo que se amplia al conjunto de los racionales. Puedes ubicarte en el primer comentario, feriva hizo una deducción brillante, mostrando la relación entre racionales y enteros.

¿Y ese \( z \) es racional?¿Por qué? No tiene porque serlo.

Te mostraré la idea, desde otro punto de vista:

Partamos desde la misma expresión:

\( b_n^n = m^n + 2\sqrt[ ]{a_n^nm^n} \)

me preguntas si esas "emes"  vienen prefijadas o yo las escojo, pues la verdad, es que son la misma y están intrínsecas en ambos miembros, mira:

Por obviedad: \( b_n^n = b_n^n \)
Entonces:

\( m^n + 2\sqrt[ ]{a_n^nm^n} \) = \( m^n + 2\sqrt[ ]{a_n^nm^n} \)

Sustituyamos \( z = 2\sqrt[ ]{a_n^nm^n} \) en el miembro izquiero. (\( z \) es un Real, nótese que solo hemos cambiado la forma de la expresión, no su valor)

Tenemos:

\( m^n + z \) = \( m^n + 2\sqrt[ ]{a_n^nm^n} \)

Despejamos \( a_n \) y llegamos a la expresión:

\( a_n = \frac{1}{m}\sqrt[n]{\frac{z^2}{4}} \)
\( b_n^n = m^n + z \)
\( c_n^n = (\sqrt[ ]{m^n}+\frac{z}{2\sqrt[ ]{m^n}})^2 \)

Mira, los valores de \( m, z \) son Reales, pueden ser racionales o irracionales. Ahora, jugando con los valores llegará un valor donde \( z = r^n \) (nada impide que así sea, pues si \( z \) es Real, entonces \( r^n \) es real, solo estoy cambiando la forma de la variable, no su valor)

Y llegamos a esta expresión:

\( a_n = \frac{r^2}{m}\sqrt[n]{\frac{1}{4}} \)
\( b_n^n = m^n + r^n \)
\( c_n^n = (\sqrt[ ]{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt[ ]{m^n}})^2 \)

Los valores \( m, r \) son Reales, pueden ser racionales o irracionales(no son los valores que yo quiera o los que me convenga colocar son aquellos valores que permitan que \( a_n, b_n, c_n \) sean racionales). Pero, por el enunciado, habrá por lo menos un valor entre todos los Reales de \( m, r \) donde estos sean racionales (no es que yo forzosamente desee que sean racionales, es que así lo indica el enunciado), entonces cuando existan esos racionales sucederá que \( a_n \) será irracional para \( n>2 \).  ¿Qué significa esto? ¿estoy probando que el UTF es verdadero?

Significa así de simple que un elemento de la terna \( a_n, b_n, c_n \) no es racional,  ¿y eso qué implica?

(contexto)
Pues \( a_n, b_n, c_n \) es subconjunto de \( a, b, c \) (así como lo indiqué en la demostración y al principio de este comentario)
Entonces según el enunciado, la terna \( a, b, c \) tendría que ser racional para CUALQUIERA sus subconjuntos.
Luego encontramos que el subconjunto \( a_n, b_n, c_n \) no cumple el enunciado (puesto que uno de sus elementos es irracional), por tanto, el enunciado es falso.

¿Ese razonamiento que he puesto probaría que no hay ternas racionales para \( n=2 \)?¿Por qué no?¿Dónde está el error?

Solo estas probando que \( a_2, b_2, c_2 \) no son una terna racional cuando \( m, n \) son racionales.

No se de donde vienen \( a_2, b_2, c_2 \), a que conjunto o subconjunto pertenecen ni que premisa hay antes de ellas, solo las has colocado sin un contexto.
Aquí tienes otras:

\( a_3 = 5m^2n^2 \)
\( b_3^2 = m^2+n^2 \)
\( a_3^2 =m^2+n^2+ 5m^2n^2 \)

Y otra

\( a_4 = 7m^2n^2 \)
\( b_4^2 = m^2+n^2 \)
\( a_4^2 =m^2+n^2+ 7m^2n^2 \)

Y las que quieras:

\( a_p = pm^2n^2 \)        (\( p \) es un número primo)
\( b_p^2 = m^2+n^2 \)
\( a_p^2 =m^2+n^2+ pm^2n^2 \)

¿Y si encuentro un \( k \) para el cual \( a_3 \) es racional siendo \( m,n \) racionales?. ¿Entonces ya no funciona tu demostración?¿qué pasa entonces?.

Si encuentras tal \( k \) tienes entonces \( a_3, b_3 \) como racionales, siendo \( m,n \) racionales, ahora debes determinar si también lo será \( c_3 \)

\begin{pmatrix}{a_n=\dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\dfrac{1}{\color{red}k^2\color{black}}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\dfrac{r^n}{\color{red}k\color{black}\sqrt{m^n}}\right)^2+\color{red}\dfrac{(k-2)r^n}{k}\color{black}}}\end{pmatrix}

Me gusta mucho tu expresión, ¿de dónde la has deducido? y ¿Cómo la relacionas con la que yo he hecho?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Es decir, que cada expresión con letras diferentes, representan cantidades diferentes y por eso se obtienen racionales diferentes

En realidad cuando se usan letras diferentes, no quiere decir que sus valores tengan que ser diferentes. Pero bueno eso es lo de menos.

En cualquier caso más allá de lo que lo expreses así o asá,  se trata de justificar porque hay ternas diferentes que cumplen la igualdad para nada \( n \).

Pues, representan varios valores, por así decirlo, son un rango o conjunto de valores. ¿y cuál es mi base para suponer eso? Pues verás, supongamos que tomamos una terna de esas infinitas que tiene, digamos que sea \( a_1, b_1, c_1 \), ahora si esta terna la multiplico por un valor racional digamos \( v \) obtengo esto: \( (a_1v)^n+(b_1v)^n =(c_1v)^n \), entonces esta es otra terna racional, digamos \( (a_2)^n+(b_2)^n=(c_2)^n \), luego si a esta terna la multiplico por otro valor racional, digamos \( u \), obtenemos esto: \( (a_2u)^n+(b_2u)^n =(c_2u)^n \), entonces esta es otra terna racional, digamos \( (a_3)^n+(b_3)^n=(c_3)^n \), entonces, a todas esas \( a_n, b_n, c_n \) (que son ternas racionales) las reunimos en un conjunto, y ese conjunto lo denotaremos como \( a, b, c \) (significa que para todos los subconjuntos de \( a, b, c \) todos ellos son racionales)

Eso de multiplicar por \( u \) es lo que te decía yo aquí:

2) Lo que yo entendía es que eso significaba es que para \( n=3 \) existe AL MENOS tres racionales \( a^3+b^3=c^3. \) Con esta interpretación no veo de donde te sacas los infinitos cumpliendo \( P^3+Q^3=1 \) (si existen infinitos racionales dividiendo la terna inicial por una constate; pero si fuerzas que esté la suma igualda a uno sólo puedes dividir por \( c \)).

Pero el problema es que así NO consigues infinitos racionales cumpliendo \( P_3^3+Q_3^3=1 \). Porque al pasar de:

\( (a_3u)^3+(b_3u)^3 =(c_3u)^3 \)

a

\( \left(\dfrac{a_3u}{c_3u}\right)^3+\left(\dfrac{b_3u}{c_3u}\right)^3=1\qquad \Leftrightarrow{}\qquad \left(\dfrac{a_3}{c_3}\right)^3+\left(\dfrac{b_3}{c_3}\right)^3=1 \)

esas \( u \) se cancelan y realmente siempre se obtiene el mismo par \( (P,Q) \) cumpliendo \( P^3+Q^3=1 \).

Es decir tu enunciado REF.01 es más fuerte que la negación del Teorema de Fermat.

No es que sea más fuete, solo que se amplia al conjunto de los racionales. Puedes ubicarte en el primer comentario, feriva hizo una deducción brillante, mostrando la relación entre racionales y enteros.

No. No me refiero a que sea más fuerte porque lo amplies a los racionales. Es más fuerte porque afirmas la existencia de una terna para todo \( n \). Es decir para que el Teorema de Fermat se falso basta, por ejemplo, que para \( n=3 \) existan tres naturales tales que \( a^3+b^3=c^3 \) aunque no existan esos naturales para \( n>3 \).

De todas formas y por resumir lo esencial hasta aquí: por el motivo que acabo de indicarte, NO has justificado que, incluso bajo tus supuestos, tengas garantizados INFINITOS pares de racionales \( (P_n,Q_n) \) tales que \( P_n^n+Q_n^n=1 \).

Como consecuencias de esto, fijado un \( b_n \) tampoco tienes garantizados INFINITOS racionales \( m,r \) tales que \( b_n=m^n+n^n. \) A lo sumo puedes garantizar uno, multiplicando \( P_n^n+Q_n^n=1 \) por \( b_n^n \).

Los valores \( m, r \) son Reales, pueden ser racionales o irracionales(no son los valores que yo quiera o los que me convenga colocar son aquellos valores que permitan que \( a_n, b_n, c_n \) sean racionales). Pero, por el enunciado, habrá por lo menos un valor entre todos los Reales de \( m, r \) donde estos sean racionales (no es que yo forzosamente desee que sean racionales, es que así lo indica el enunciado), entonces cuando existan esos racionales sucederá que \( a_n \) será irracional para \( n>2 \).

Veamos, bajo el supuesto de que al menos hay una solución racional de la ecuación de Fermat para exponente \( n \), puedes escoger en esas ecuaciones \( m,r \) racionales tales que \( b^n=m^n+r^n \). Y a partir de ahí obtener una terna \( (a_n,b_n,c_n)  \) donde \( a_n \) no es racional y que cumple la ecuación. ¿Y qué?. Eso no sirve para nada.

La terna \( (\sqrt{33},4,7) \) cumple \( (\sqrt{33})^2+4^2=7^2 \), ¿quiere decir que no puedan existir otras ternas de racionales que cumplan \( a^2+b^2=c^2 \)?. ¡No! Porque de hecho sabemos que existen.

¿Qué significa esto? ¿estoy probando que el UTF es verdadero?

Significa así de simple que un elemento de la terna \( a_n, b_n, c_n \) no es racional,  ¿y eso qué implica?

(contexto)
Pues \( a_n, b_n, c_n \) es subconjunto de \( a, b, c \) (así como lo indiqué en la demostración y al principio de este comentario)
Entonces según el enunciado, la terna \( a, b, c \) tendría que ser racional para CUALQUIERA sus subconjuntos.
Luego encontramos que el subconjunto \( a_n, b_n, c_n \) no cumple el enunciado (puesto que uno de sus elementos es irracional), por tanto, el enunciado es falso.

Todo lo que he marcado en rojo no tiene sentido ninguno, y parece que es el fondo de tu error.

Hablas de "subconjunto de \( a, b, c \)". Entiendo que te refieres a que es un subconjunto de todas las ternas racionales que si cumplen \( a^n+b^n=c^n. \) Pero, ¿en que quedamos?.

¿Esa terna \( (a_n,b_n,c_n) \) la escoges PREVIAMENTE entre una de esas soluciones RACIONALES que supones que existen? Si es así, entonces \( a_n,b_n,c_n \), no son cualesquiera. Están prefijados. Y por tanto eso que hacías antes de coger los valores racionales de \( m,n \) que sabemos que verifican \( b_n^n=m^n+r^n \) ya no valen, porque esos podrían dar un  valor de \( a_n  \)que NADA tiene que ver con el que estaba PREFIJADO. Es aquí donde cobra sentido todo lo que te estado diciendo sobre las dos "emes".

¿O bien esa terna \( (a_n,b_n,c_n) \) la ha formado a partir de los valores de \( m,r \) racionales que cumplen \( b_n^n=m^n+r^n \) escogiendo el valor de \( a_n \) a partir de \( m,r \)? Entonces efectivamente \( a_n \) no es racional y simplemente lo que tenemos es que esa terna NO es una de las soluciones racionales de la ecuación de Fermat. Pero eso no contradice nada. Por que esa terna no estaba previamente seleccionada entre las racionales que cumplían la ecuación. No. La hemos formado de tal manera que resulta ser irracional.

Solo estas probando que \( a_2, b_2, c_2 \) no son una terna racional cuando \( m, n \) son racionales.

Efectivamente igual que tu solo pruebas que \( a_n,b_n,c_n \) no son una terna racional cuando \( m, n \) son racionales.

No se de donde vienen \( a_2, b_2, c_2 \), a que conjunto o subconjunto pertenecen ni que premisa hay antes de ellas, solo las has colocado sin un contexto.

Y en tu caso entramos en el problema que te comenté antes. Si tu terna viene seleccionada de un subconjunto, no puedes garantizar que tu \( m,r \) sean racionales. Si tu terna la creas a partir de los racionales \( m,r \) entonces ya no proviene de ningún conjunto, subconjunto o premisa previa.

Saludos.