[Quema]

Si \( f(x) \) es continua en \( [a,b] \) se cumple siempre que \( \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx \) con \( a<c<b \)?

Ahora, supongamos la integral \( \int_{-1}^{1}xe^{-x^2+1}dx \) si hago sustitución los límites de integración me quedan cero y cero, eso está mal, tengo que separarla en dos la parte positiva y la negativa, no? Y no sería cierto el punto anterior a pesar que la función es continua en \( [-1,1]. \)

[Juan Pablo Sancho]

No queda mal y es el resultado requerido.
Tienes que \( \displaystyle \int_{-1}^1 x \cdot e^{-x^2+1} \ dx = \int_{-1}^0 x \cdot e^{-x^2+1} \ dx + \int_{0}^1 x \cdot e^{-x^2+1} \ dx = -\int_{0}^1 x \cdot e^{-x^2+1} \ dx + \int_{0}^1 x \cdot e^{-x^2+1} \ dx = 0  \)

[Quema]

Por qué hay que partir la integral?

[Juan Pablo Sancho]

Por ser la función impar .

[Luis Fuentes]

Hola

Por qué hay que partir la integral?

Una observación. No "hay" (en sentido obligatorio) que partir la integral. Otra cosa es que uno quiera partirla para comprobar que se cumple la propiedad inicial o para usar el hecho de que es impar para facilitar los cálculos.

Directamente:

\( \displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{-x^2+1}dx=\left.-\dfrac{1}{2}e^{-x^2+1}\right]_{-1}^1=-\dfrac{1}{2}e^{(-(-1)^2+1)}+-\dfrac{1}{2}e^{(-(1)^2+1)}=0 \)

Saludos.

[Quema]

El tema es que si se trata de resolver por sustitución los nuevos límites de sustitución te da cero y cero, lo cual no tiene sentido. La sustitución fallaría aquí, salvo que se partiera la integral en la parte negativa y positiva.

[Juan Pablo Sancho]

Pero \( \displaystyle \int_a^a f \ dx = 0  \).

[Luis Fuentes]

Hola

El tema es que si se trata de resolver por sustitución los nuevos límites de sustitución te da cero y cero, lo cual no tiene sentido. La sustitución fallaría aquí, salvo que se partiera la integral en la parte negativa y positiva.

¡Es que no falla! Da cero hagas como lo hagas. Lo que se aplica es que:

\( \displaystyle\int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx \)

Donde en este caso:

\( f(t)=-\dfrac{1}{2}e^{-t+1},\qquad g(x)=x^2 \)

Saludos.