Autor Tema: Estudio convergencia absoluta e incondicional de la siguiente serie

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28 Septiembre, 2020, 03:44 pm
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OriolRama

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Hola! Podrias ayudarme a estudiar la convergencia absoluta e incondicional de la serie \( \sum_{n=1}^\infty{\frac{sin(\frac{π}{3}n)cos(\frac{π}{6}n)}{n}} \).
Estudiando la convergencia absoluta se sabe que los sinus estan acotados por 1, entonces la seria será mas pequeña que la harmónica que diverge. Pero este dato es inconclusivo y no sirve de nada. Podrias ayudarme a estudiar la convergencia absoluta y la convergencia?


Muchas gracias! ;)


pd: me podeis ayudar a encontrar la suma de: \( \sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}(\frac{5}{2^n}-\frac{2}{3^n})} \). (una pista)

28 Septiembre, 2020, 05:11 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola OriolRama.

Para la próxima, para mantener el orden, cuando tengas preguntas distintas hazlas en hilos distintos.


pd: me podeis ayudar a encontrar la suma de: \( \sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}(\frac{5}{2^n}-\frac{2}{3^n})} \). (una pista)

Una idea:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\left(\frac{5}{2^n}-\frac{2}{3^n}\right)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{5}{2^n}-\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{2}{3^n}=\dots \)

ya se va pareciendo a series geométricas, ¿no?

28 Septiembre, 2020, 06:01 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Hola! Podrias ayudarme a estudiar la convergencia absoluta e incondicional de la serie \( \sum_{n=1}^\infty{\frac{sin(\frac{π}{3}n)cos(\frac{π}{6}n)}{n}} \).

Al ser la siguiente serie \[  \sum_{n=1}^\infty{\left|\frac{sin(\frac{π}{3}n)cos(\frac{π}{6}n)}{n}\right|} \] de términos positivos puedes reagrupar sus términos. Con esto y con la periodicidad del seno y el coseno intenta probar que:

\[  \sum_{n=1}^\infty{\left|\frac{sin(\frac{π}{3}n)cos(\frac{π}{6}n)}{n}\right|}=\frac{3}{4}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{6n+1}+\frac{1}{6n+5}\right)+   \frac{\sqrt[ ]{3}}{4}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{6n+2}+\frac{1}{6n+4}\right)  \].

Un saludo.