Autor Tema: Linealidad

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28 Septiembre, 2020, 08:58 am
Respuesta #20

ciberalfil

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Eso es. Los operadores y los sistemas son lineales, los fenómenos no necesariamente.

28 Septiembre, 2020, 04:56 pm
Respuesta #21

mathtruco

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Vamos a ver, no hay que confundir las cosas, el movimiento de un proyectil en un campo como el g no es lineal, eso está claro pero eso no quiere decir que un movimiento de caída libre no este regulado por una ecuación lineal:

\( \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=g \)

Si esa ecuación no es lineal que venga dios y lo vea. En general la dinámica clásica está básicamente regida por el segundo postulado de Newton:

\( \displaystyle F=m\frac{d^2x}{dt^2} \)

que no puede ser más lineal. Lo que son lineales (en mis comentarios) son los sistemas y las ecuaciones que los rigen, es decir los sistemas están regidos por ecuaciones lineales, no los fenómenos que muestran que pueden ser lineales, parabolicos, polinómicos de cualquier orden, periódicos y hasta exponenciales. No es lo mismo.

Salu2

Yo sólo me refería a que hay relaciones en la naturaleza que no son lineales, pensé que esa era la inquietud de la pregunta inicial. En este problema (lanzamiento de un proyectil) tal como lo escribí la ecuación diferencial es lineal, claro, pero es porque es un problema simplificado.

La ecuación \( x''=g \) es lineal porque estás suponiendo a g como constante y que no hay roce con el viento ni vientos que la mueven. Supongo que un modelo más completo tendrá no linealidades.

Como ejemplo, si consideras un avión volando (más complejo que nuestro proyectil), el modelo del fluído que pasa por las alas serían las ecuaciones diferenciales de Navier--Stokes, las cuales son no lineales.


Mi objetico al responder era:

- Dar ejemplos donde las relaciones entre las variables son no lineales que no sean extraños y que podamos visualizar (evitando conceptos que escapan a nuestra intuición, como mecánica cuántica que, aunque tomé un curso al respecto alguna vez, sinceramente no estoy en condiciones de debatir).

- He dado ejemplos donde la solución no es continua y no es derivable. De nuevo, que no son nada extraños.

- Y creo también que he dejado claro que la matemática que se ve en el colegio y universidad son ejemplos básicos, y que no hay que quedarse con que la matemática de verdad será tan ideal o simple. Por supuesto que el ejemplo sencillo se ajustará sólo al problema de pizarrón. Pero hay matemáticos trabajando en problemas reales, y con modelos reales.


Pongo un ejemplo extra. He hecho clases de cálculo a estudiantes de la carrera de negocios. Ustedes sabrán que existen curvas de oferta (creciente) y demanda (decreciente).



En el gráfico que se forma con estas curvas, hay áreas que representan el superávit del consumidor y productor. En el curso de economía propiamente tal, siempre consideran estas curvas como rectas, así que es fácil sacar su intersección, y más fácil calcular el superávit del consumidor y productor (son áreas de triángulos rectángulos). Y tiene todo el sentido del mundo, porque ellos quieren explicar conceptos de economía, y no quieren pasarse la clase completa haciendo cálculos de integrales, la clase de economía perdería el norte.

Cuando veo cálculo de áreas en el curso de cálculo para ellos, siempre explico esto: que estas curvas no tienen porqué ser rectas, y hacemos ejemplos. Y es una pregunta fija de prueba además. Pero en esta pregunta de la prueba (sería calcular área entre curvas), los alumnos que están repitiendo el curso normalmente "mueren", porque no entienden como las curvas de oferta y demanda no son rectas (como ellos ya vieron en economía), y como sea se las ingenian para graficar dos rectas y sacar áreas de triángulos.

De hecho, esto de tener curvas conocidas de oferta y demanda también es teórico. Lo que se tiene en la práctica es un conjunto de datos en excel con oferta y demanda y habrá que usar una cuadratura numérica para hacer el cálculo en realidad.


No sé si yo mismo ya estoy respondiendo algo distinto a lo que inició el hilo, pero al menos yo no seguiré respondiendo el hilo, por mi parte ya he transmitido lo que quería aportar.

28 Septiembre, 2020, 05:39 pm
Respuesta #22

ciberalfil

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Pero eso ya lo sabemos, que existen modelos no lineales y los fenómenos la mayoría de las veces no lo son. Yo solo apuntaba la idea de que la mayoría de los modelos de sistemas fundamentales de la física y la tecnología son lineales, o al menos se realizan muchos esfuerzos para obligar a que el comportamiento de los sistemas se comporten de esa manera, con objeto de obtener soluciones fácilmente. Ya afirme en mi primer mensaje que la realidad es muy distinta a lo que la mayoría de las veces viene en los libros.

Salu2