Autor Tema: Linealidad

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27 Septiembre, 2020, 05:38 pm
Respuesta #10

mathtruco

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Pero la realidad, en general, no es lineal, es más bien caótica y muestra casi siempre fenómenos no lineales como la saturación o el retardo (la histéresis) o la plasticidad de los materiales, y su comportamiento dista mucho de un comportamiento tan sencillo como la linealidad. No será que buscamos la linealidad en los modelos porque son mucho más fáciles de tratar e incluso forzamos la tecnología para que las máquinas funcionen dentro de rangos de trabajo en los que la linealidad es razonable, como el comportamiento elástico de los materiales, evitar la saturación de los materiales, obtención ciclos de histéresis mínimos, etc. Cuando oigo decir que las matemáticas se ajustan bien a la naturaleza de las cosas tengo que sonreir porque no existe probablemente nada más lejos de la realidad que una afirmación como esa. Quizás sea más correcto decir que las matemáticas se ajustan bien a nuestra percepción o incluso que nuestra percepción se ajusta más bien a las matemáticas pero la realidad es otra cosa.

Salu2

No tengo ni idea de cómo se resuelven esos problemas, así que seguramente diré una tontería. Pero supongo que si no se resuelven mediante una aplicación lineal, se resolverán mediante una aplicación multilineal o se podrá usar programación lineal, un simplex o algo así... no sé, porque voy de oído totalmente. Pero algún método matemático habrá, no todo son homomorfismos en matemáticas.

Saludos.

Programación lineal (simplex) y no lineal son para problemas discretos, pero acá las variables son continuas, así que no son aplicables para estos fenómenos.

27 Septiembre, 2020, 06:12 pm
Respuesta #11

Richard R Richard

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No tengo ni idea de cómo se resuelven esos problemas, así que seguramente diré una tontería. Pero supongo que si no se resuelven mediante una aplicación lineal, se resolverán mediante una aplicación multilineal o se podrá usar programación lineal, un simplex o algo así... no sé, porque voy de oído totalmente. Pero algún método matemático habrá, no todo son homomorfismos en matemáticas.

Saludos.


Si pensamos que un modelo matemático es un ajuste de causa-efecto o bien  expectativa vs resultados... ninguna modelización  garantiza  ultranza interpretar la realidad física tal cual es, las hay muy precisas, pero en ciencia se sabe bien lo que es falso, pero nunca se esta seguro de lo correcto.


El estudio experimental, permite razonar de que modo relacionar  causas(variables) con sus efectos(resultados), la forma mas fácil de hacer estos pronósticos es la linealidad,  por eso es la mas ampliamente difundida.


Pero cuanto más se profundice el estudio en un área, mas variables aparecen y terminarás  estudiando sistemas multivariables dinámico, y entonces recurrirás a un  modelo (que no tiene porque ser justamente el modelo correcto, pero será el mejor propuesto) con sistemas de varias ecuaciones diferenciales  en derivada parciales de todos los ordenes necesarios.


Hoy con la ayuda de ordenadores se pueden simular todo tipo de escenarios complejos, que antes estaban librados  a ser explicados divulgativamente y tomados en serio, según el divulgador se trate.


Así , claro está que no todos, pero la mayoría terminan siendo problemas de valor inicial resueltos por métodos numéricos Runge Kutta por nombrar uno(se que me quedo en el tiempo) , hoy son fácilmente programables y tienen tiempos de procesamiento cortos, y errores de truncamiento muy pequeños, comparados con los errores groseros de las suposiciones lineales, que más bien para lo que sirven es para forma una idea intuitiva de hacia donde evolucionará un sistema, más que sobre el valor correcto que se podría obtener con cualquier  experimento.
 
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

27 Septiembre, 2020, 07:12 pm
Respuesta #12

feriva

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Gracias, mathtruco y Richard; no había leído antes algunas respuestas, de ahí que anduviera aún más despistado de lo normal.

Saludos.

27 Septiembre, 2020, 07:35 pm
Respuesta #13

ciberalfil

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Vamos a ver, no hay que confundir las cosas, el movimiento de un proyectil en un campo como el g no es lineal, eso está claro pero eso no quiere decir que un movimiento de caída libre no este regulado por una ecuación lineal:

\( \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=g \)

Si esa ecuación no es lineal que venga dios y lo vea. En general la dinámica clásica está básicamente regida por el segundo postulado de Newton:

\( \displaystyle F=m\frac{d^2x}{dt^2} \)

que no puede ser más lineal. Lo que son lineales (en mis comentarios) son los sistemas y las ecuaciones que los rigen, es decir los sistemas están regidos por ecuaciones lineales, no los fenómenos que muestran que pueden ser lineales, parabolicos, polinómicos de cualquier orden, periódicos y hasta exponenciales. No es lo mismo.

Salu2

27 Septiembre, 2020, 08:03 pm
Respuesta #14

geómetracat

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Bueno, la ecuación de Newton puede ser tan no lineal como quieras, según sean las fuerzas. La ecuación de Newton para una partícula sometida a un campo gravitatorio (no la aproximación de campo constante) es no lineal:
\[ -\frac{GM}{r^2}\hat{r}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

27 Septiembre, 2020, 09:00 pm
Respuesta #15

Richard R Richard

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Vamos a ver, no hay que confundir las cosas, el movimiento de un proyectil en un campo como el g no es lineal, eso está claro pero eso no quiere decir que un movimiento de caída libre no este regulado por una ecuación lineal:
\( \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=g \)


Entiendo tu punto pues lo ves cinemáticamente, pero el análisis es dinámico y partes de un lagrangiano T-V veras que la energía potencial gravitatoria entre dos alturas dadas  las utilizamos como

\( \Delta E_{p_1}=mg\Delta h  \) que es lineal

cuando en realidad debería ser


\( \Delta E_{p_2}=-mGM\left(\dfrac{1}{R+\Delta h}+\dfrac{1}{R}\right) \)

con \( g=\dfrac{GM}{R^2} \) dada como constante

Si haces un análisis fino  sabiendo que \( \Delta  h<<R \) entonces \( \Delta E_{p_1}\cong \Delta E_{p_2} \)  por eso sería un modelo lineal de la energía gravitatoria.



puedes ver el detalle en https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_gravitatoria#C%C3%A1lculo_simplificado


y en ese caso la velocidad de caída \( v =v_o-gt  \) sería el modelo lineal cinemático, que luego por integración llegas a una parábola  cuando en realidad todas las caídas libres son elipses, donde la energía mecánica de la órbita es

\( E_m=\dfrac 12 mv_{Radial}^2+\dfrac{L^2}{2mR^2}-\dfrac{GmM}{R} \) que no es nada lineal  aun suponiendo que se parta sin velocidad radial y sin momento angular.


Entonces a que voy con el rollo físico , es que la complejidad del pensamiento necesario para arribar a tales conclusiones debe venir de cálculos mas sencillos presentado a la comunidad no física ni matemática como una aproximación lineal  útil al alcance de cualquier calculadora de bolsillo, y no solo de los ámbitos académicos o científicos rigurosos....porque incluso estos cálculos desde Einstein en adelante  ya han quedado obsoletos por simplificado,pero  no obstante son tan precisos, que no se necesita nada mas elaborado que estos, para llevar al hombre a la Luna o a cualquier destino dentro del sistema solar.

Solo con mucho tiempo de permanencia en las cercanías del sol veremos desviaciones de los cálculos, Newtonianos y a favor de la relatividad General. No hay que olvidar que las geodésicas (órbitas curvas Newtonianas  son las "rectas" (aproximación lineal) del espacio tiempo curvo \( \mathbb R^3_1 \) de la relatividad general, cuando se propone una métrica del Tipo Schwarzchild)

Al final La RG terminará siendo o no , un calculo Lineal quizá de otra teoría superior que algún buen dotado pueda intuir, modelizar no lineal, tener experimentos que lo demuestren y corroboren la no linealidad, para que luego baje un cambio y nos las explique...
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

27 Septiembre, 2020, 11:13 pm
Respuesta #16

ciberalfil

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Bueno, esta claro que la linealidad de los fenómenos físicos es cuestionable en muchos casos, lo que no es cuestionable es que las ecuaciones generales que definen los sistemas, no los fenómenos, suelen ser lineales y casi siempre se prefieren modelos lineales que otros que son más complejos, aunque claro está que no siempre ocurre, pero por cada modelo no lineal existen muchos lineales, no hay más que consultar un buen libro de física, o incluso de otras materias relacionadas con la ciencia.

El caso del potencial gravitatorio Newtoniano es un claro ejemplo ya que se rige por ecuaciones de la forma:

\( \displaystyle V=-G\int_{m}^{}\frac{dm}{r}\qquad\qquad\qquad\qquad\nabla V=-\mathbf{g} \)

ecuaciones que nadie puede negar que son aplicables a cualquier sistema gravitatorio y lineales. El campo gravitatorio es consecuencia del potencial y el potencial es consecuencia de la distribución de masas existentes, así que la linealidad es, según yo lo veo, indiscutible. El principio de superposición es tan aplicable aquí como en cualquier otro sistema lineal. Cada partícula material genera su propio campo gravitatorio y el campo total es la suma de cada uno de los campos correspondiente a su partícula. Es un claro ejemplo de linealidad. Otra cosa son las soluciones particulares de cada caso, pero no hay que confundir las leyes generales con las soluciones particulares. Nadie dirá supongo que las ecuaciones de las ondas electromagnéticas no son lineales y sin embargo las soluciones del campo eléctrico y magnético obedecen, en la solución más sencilla, a variaciones espaciotemporales de la forma seno y coseno, son periódicas en el tiempo y en el espacio y nadie diría que son lineales, pues claro que no, pero la ecuación que las genera sí lo es, desde luego que lo es:

\( \displaystyle\nabla^2 \phi=\frac{1}{c^2}\frac{d^2\phi}{dt^2} \)

ya que está formada mediante la combinación de dos operadores lineales en su totalidad. La combinación de dos ondas simultáneas propagándose en el espacio se corresponde con la suma punto a punto de cada una de ellas (podría no ser así, pero lo es), como establece claramente el principio de superposición, hecho que avala claramente la linealidad del sistema.

Salu2

28 Septiembre, 2020, 04:45 am
Respuesta #17

Richard R Richard

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El caso del potencial gravitatorio Newtoniano es un claro ejemplo ya que se rige por ecuaciones de la forma:

\( \displaystyle V=-G\int_{m}^{}\frac{dm}{r}\qquad\qquad\qquad\qquad\nabla V=-\mathbf{g} \)
ecuaciones que nadie puede negar que son aplicables a cualquier sistema gravitatorio y "lineales". El campo gravitatorio es consecuencia del potencial y el potencial es consecuencia de la distribución de masas existentes, así que la linealidad es, según yo lo veo, indiscutible. El principio de superposición es tan aplicable aquí como en cualquier otro sistema lineal.

Disculpa , ahora si ,no logro ver que es lo que quieres explicar.

Es claro que el potencial no es lineal con el radio r,

\( V(r_1+r_2)\neq V(r_1)+V(r_2)\qquad\qquad V(kr)\neq kV(r) \)

 eso lo venimos diciendo a lo largo del hilo,  pero en la practica se lo hace lineal en pequeñas variaciones de distancia.
Y coincido que es aplicable el principio de superposición, el potencial total es la suma de todos los potenciales, aunque cada uno no sea lineal con r.

\( V_{T(r,\theta,\phi)}=\displaystyle\sum V_{i(r,\theta,\phi)} \)

Lo mismo el principio de superposición funciona haciendo que cualquier función de onda sinusoidal, (que no es lineal por lo general ni con el tiempo ni la posición), pueda ser obtenida como  la sumatoria  de infinitas funciones de ondas armónicas.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

28 Septiembre, 2020, 08:04 am
Respuesta #18

ciberalfil

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Pues no se si me he explicado bien, la linealidad hace referencia a los operadores que se aplican y no a las magnitudes que intervienen. En este caso son una integración y un gradiente. Dichos operadores son lineales porque satisfacen la condición necesaria, por lo tanto el modelo es lineal. Ahora bien eso no quiere decir que la función potencial, o la distribución de masa o incluso el campo gravitatorio lo sean, de hecho nunca lo son. Lo mismo pasa con las ondas que ya expliqué antes, las ondas no son lineales, suelen ser periódicas con o sin amortiguación, pero la ecuación que las genera si lo es. No es lo mismo. Una ecuación lineal diferencial ordinaria, es lineal, pero sus soluciones nunca lo son, por ejemplo:

\( Ay''+By' +Cy=0 \)

Las ecuaciones de Maxwell, representan un sistema lineal, pero sus soluciones nunca son lineales, evidentemente, aunque permiten siempre aplicar el principio de superposición, de manera que los campos electromagnéticos y sus potenciales totales siempre son la suma de los campos y potenciales creados por cada una de las partículas que lo forman. Etc.

Salu2

28 Septiembre, 2020, 08:44 am
Respuesta #19

geómetracat

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Yo diría que hay dos cosas distintas. Una cosa es que las ecuaciones de los campos son lineales (por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell, de ondas o la ecuación de Poisson).
Y otra distinta es la ecuación del movimiento de una partícula sometida a esos campos (ley de Newton), que sí que es no lineal en general.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)