[malboro]

Hola.

Si \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) es una función derivable en \( [a,b] \)  y \( f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b) \) entonces existe \( c\in <a,b> \) tal que \( f^{\prime}(c)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a} \).

Espero alguna idea de como aplicar el teorema del valor medio.

gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) es una función derivable en \( [a,b] \)  y \( f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b) \) entonces existe \( c\in <a,b> \) tal que \( f^{\prime}(c)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a} \).

Espero alguna idea de como aplicar el teorema del valor medio.

Si defines:

\( g(x)=\begin{cases}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}&\text{si}& x\in (a,b]\\f'(a) & \text{si}& x=a\end{cases} \)

tienes una función contina en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \) y tu problema se reduce a probar que existe \( c\in (a,b) \) tal que \( g'(c)=0 \). Dado que por ser continua alcanza máximo y mínimo y por ser además derivable lo anterior se reduce a probar que el máximo y mínimo no corresponden a los extremos del intervalo.

Intenta seguir por ahí...

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Lo que dices, Luis, me parece buena idea pero creo que falta algo. Si tomas \( f(x) =\cos(x)  \), \( a=0 \) y \( b=2\pi \) entonces \( g \) sí que toma el máximo en los extremos del intervalo, si no me equivoco.

Un saludo.

PD. Ah no. Vale ya entiendo... Dices que o bien el máximo o bien el mínimo están fuera de los extremos. Mi crítica no es acertada.

[Luis Fuentes]

Hola

PD. Ah no. Vale ya entiendo... Dices que o bien el máximo o bien el mínimo están fuera de los extremos. Mi crítica no es acertada.

Si. Me refería a eso. Si suponemos por ejemplo que la función es creciente (análogo decreciente) y por tanto NO hay ni máximo ni mínimo en el interior del dominio tendríamos \( f'(a)=g(a)\leq g(x)\leq g(b) \) para \( x\in [a,b] \)  o equivalentemente:

\( f(x)\leq f(a)+(x-a)g(b) \) (*)

Además:

\( f'(b)=\lim_{x \to b}{}\dfrac{f(b)-f(x)}{b-x} \)
Pero por (*):

\( f(b)-f(x)\geq f(b)-f(a)-(x-a)g(b)=g(b)(b-a)-(x-a)g(b)=g(b)(b-x) \)

Luego de (**) y \( f'(a)=f'(b) \):

\( g(a)=f'(a)=f'(b)=\lim_{x \to b}{}\dfrac{f(b)-f(x)}{b-x}\geq \lim_{x \to b}{}\dfrac{g(b)(b-x)}{b-x}=g(b) \)

y por (*) la función \( g(x) \) sería constante y lo tenemos.

Saludos.

[martiniano]

Cristalino como el agua.

Un saludo. Gracias.