Autor Tema: Corolario del teorema del valor medio

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26 Septiembre, 2020, 08:19 am
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malboro

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Hola.

Si \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) es una función derivable en \( [a,b] \)  y \( f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b) \) entonces existe \( c\in <a,b> \) tal que \( f^{\prime}(c)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a} \).

Espero alguna idea de como aplicar el teorema del valor medio.

gracias
Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

26 Septiembre, 2020, 10:55 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Si \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) es una función derivable en \( [a,b] \)  y \( f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b) \) entonces existe \( c\in <a,b> \) tal que \( f^{\prime}(c)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a} \).

Espero alguna idea de como aplicar el teorema del valor medio.

Si defines:

\( g(x)=\begin{cases}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}&\text{si}& x\in (a,b]\\f'(a) & \text{si}& x=a\end{cases} \)

tienes una función contina en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \) y tu problema se reduce a probar que existe \( c\in (a,b) \) tal que \( g'(c)=0 \). Dado que por ser continua alcanza máximo y mínimo y por ser además derivable lo anterior se reduce a probar que el máximo y mínimo no corresponden a los extremos del intervalo.

Intenta seguir por ahí...

Saludos.

26 Septiembre, 2020, 11:28 am
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Lo que dices, Luis, me parece buena idea pero creo que falta algo. Si tomas \( f(x) =\cos(x)  \), \( a=0 \) y \( b=2\pi \) entonces \( g \) sí que toma el máximo en los extremos del intervalo, si no me equivoco.

Un saludo.

PD. Ah no. Vale ya entiendo... Dices que o bien el máximo o bien el mínimo están fuera de los extremos. Mi crítica no es acertada.

26 Septiembre, 2020, 10:07 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

PD. Ah no. Vale ya entiendo... Dices que o bien el máximo o bien el mínimo están fuera de los extremos. Mi crítica no es acertada.

Si. Me refería a eso. Si suponemos por ejemplo que la función es creciente (análogo decreciente) y por tanto NO hay ni máximo ni mínimo en el interior del dominio tendríamos \( f'(a)=g(a)\leq g(x)\leq g(b) \) para \( x\in [a,b] \)  o equivalentemente:

\( f(x)\leq f(a)+(x-a)g(b) \) (*)

Además:

\( f'(b)=\lim_{x \to b}{}\dfrac{f(b)-f(x)}{b-x} \)
Pero por (*):

\( f(b)-f(x)\geq f(b)-f(a)-(x-a)g(b)=g(b)(b-a)-(x-a)g(b)=g(b)(b-x) \)

Luego de (**) y \( f'(a)=f'(b) \):

\( g(a)=f'(a)=f'(b)=\lim_{x \to b}{}\dfrac{f(b)-f(x)}{b-x}\geq \lim_{x \to b}{}\dfrac{g(b)(b-x)}{b-x}=g(b) \)

y por (*) la función \( g(x) \) sería constante y lo tenemos.

Saludos.

27 Septiembre, 2020, 07:39 pm
Respuesta #4

martiniano

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Cristalino como el agua.

Un saludo. Gracias.