Autor Tema: Hallar parametrización de interesección de plano y esfera

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22 Septiembre, 2020, 06:01 am
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Francolino

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Hola.

Quisiera saber si existe algún método para hallar una parametrización de la intersección de una esfera con un plano. Dicho con otras palabras, cómo poder hallar una función \( \alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^3 \) tal que \( Im(\alpha) = \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : ax+by+cz=d }\right\} \cap \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=r }\right\} \)

Saludos.

22 Septiembre, 2020, 09:13 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Quisiera saber si existe algún método para hallar una parametrización de la intersección de una esfera con un plano. Dicho con otras palabras, cómo poder hallar una función \( \alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^3 \) tal que \( Im(\alpha) = \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : ax+by+cz=d }\right\} \cap \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=r }\right\} \)

En general no hay una parametrización única. Aquí tienes un ejemplo de parametrización usando el teorema espectral.

22 Septiembre, 2020, 09:58 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Quisiera saber si existe algún método para hallar una parametrización de la intersección de una esfera con un plano. Dicho con otras palabras, cómo poder hallar una función \( \alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^3 \) tal que \( Im(\alpha) = \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : ax+by+cz=d }\right\} \cap \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=\color{red}r\color{black} }\right\} \)

Entiendo que quisiste poner: \( \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=\color{red}r^2\color{black} }\right\} \).

Un procedimiento para hallar una posibilidad puede ser:

1) El radio \( \rho \) de la circunferencia intersección cumple:

\(  \rho^2=r^2-d(plano,origen)=r^2-\dfrac{d^2}{a^2+b^2+c^2} \)

- Si \( \rho^2<0 \) el plano no corta a la esfera.
- Si \( \rho^2=0 \) el plano corta en un punto: es tangente a la esfera.
- Si \( \rho^2>0 \) el plano corta en una circunferencia a la esfera. Supondremos en lo que sigue que estamos en este caso.

2) Interseca la recta perpendicular al plano que pasa por el centro de la esfera con el propio plano. Eso te da el centro de la circunferencia intersección. Será:

\( C=\lambda(a,b,c) \) donde \( \lambda=\dfrac{d}{a^2+b^2+c^2} \)

3) Escoge dos vectores \( \vec u,\vec v \) ortogonales al vector \( (a,b,c) \), ortogonales entre si y de norma \( 1 \).

 - Escoges un vector no nulo \( \vec u' \) cumpliendo \( \vec u'\cdot (a,b,c)=0 \).
 - Escoges un vector no nulo \( \vec v' \) cumpliendo \( \vec v'\cdot (a,b,c)=0 \) y \( \vec v'\cdot \vec u'=0 \).
 - Normaliza ambos: \( \vec u=\dfrac{\vec u'}{\|\vec u'\|} \) y  \( \vec v=\dfrac{\vec v'}{\|\vec v'\|} \)

4) Entonces una posible parametrización es:

\( (x,y,z)=C+cos(\theta)\vec u+sin(\theta)\vec v,\qquad \theta\in [0,2\pi) \)

Saludos.

P.D. No he leído el documento de Fernando. Quizá alguna idea se intersequé con lo que he expuesto aquí.

22 Septiembre, 2020, 10:38 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Existe también la opción de obtener unas "feas" ecuaciones paramétricas resolviendo por fuerza bruta el sistema \( \begin{cases} ax+by=d-cz\\x^2+y^2=r^2-z^2\end{cases} \) con \( a \) o \( b \) no nulo para obtener unas paramétricas de la forma \( \begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\\z=t\end{cases} \). El signo del radicando que aparece en las funciones \( f \) y \( g \) determina el rango de variación de \( t \). Pero las funciones \( f \) y \( g \) además de "feas", son de "poca calidad".  :)

22 Septiembre, 2020, 12:50 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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Como curiosidad las ecuaciones del tipo al que me refiero en mi mensaje anterior, para la circunferncia \( \begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=4\end{cases} \) quedarían en la forma \( \begin{cases}x=\displaystyle \frac{1}{2}\left( t\mp \sqrt{8-3t^2}\right)-t\\y=\displaystyle \frac{1}{2}\left( -t\pm \sqrt{8-3t^2}\right)\\z=t\end{cases} |t|\le \dfrac {2\sqrt{6}}{3} \), mientras que usando algo más sofisticado quedarían en la forma \( \left \{ \begin{matrix}x=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos t-\sin t\right)\\y=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos t+\sin t\right)\\z=-\dfrac{4}{\sqrt{6}}\cos t\end{matrix}\right.\quad t\in [0,2\pi]. \)

23 Septiembre, 2020, 05:43 am
Respuesta #5

Francolino

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Quisiera saber si existe algún método para hallar una parametrización de la intersección de una esfera con un plano. Dicho con otras palabras, cómo poder hallar una función \( \alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^3 \) tal que \( Im(\alpha) = \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : ax+by+cz=d }\right\} \cap \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=r }\right\} \)

En general no hay una parametrización única. Aquí tienes un ejemplo de parametrización usando el teorema espectral.

Hola Fernando,

Muchas gracias por tu ayuda. La verdad que no he podido seguir el procedimiento que allí describes porque mis conocimientos de álgebra lineal están muy oxidados ya. No recuerdo qué eran ni cómo se hallaban los subespacios propios. Intentaré investigar estos temas si tengo tiempo para luego volver a leer tu mensaje con mayor atención. :)

Saludos.

23 Septiembre, 2020, 05:47 am
Respuesta #6

Francolino

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Hola

Quisiera saber si existe algún método para hallar una parametrización de la intersección de una esfera con un plano. Dicho con otras palabras, cómo poder hallar una función \( \alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^3 \) tal que \( Im(\alpha) = \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : ax+by+cz=d }\right\} \cap \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=\color{red}r\color{black} }\right\} \)

Entiendo que quisiste poner: \( \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=\color{red}r^2\color{black} }\right\} \).

Un procedimiento para hallar una posibilidad puede ser:

1) El radio \( \rho \) de la circunferencia intersección cumple:

\(  \rho^2=r^2-d(plano,origen)=r^2-\dfrac{d^2}{a^2+b^2+c^2} \)

- Si \( \rho^2<0 \) el plano no corta a la esfera.
- Si \( \rho^2=0 \) el plano corta en un punto: es tangente a la esfera.
- Si \( \rho^2>0 \) el plano corta en una circunferencia a la esfera. Supondremos en lo que sigue que estamos en este caso.

2) Interseca la recta perpendicular al plano que pasa por el centro de la esfera con el propio plano. Eso te da el centro de la circunferencia intersección. Será:

\( C=\lambda(a,b,c) \) donde \( \lambda=\dfrac{d}{a^2+b^2+c^2} \)

3) Escoge dos vectores \( \vec u,\vec v \) ortogonales al vector \( (a,b,c) \), ortogonales entre si y de norma \( 1 \).

 - Escoges un vector no nulo \( \vec u' \) cumpliendo \( \vec u'\cdot (a,b,c)=0 \).
 - Escoges un vector no nulo \( \vec v' \) cumpliendo \( \vec v'\cdot (a,b,c)=0 \) y \( \vec v'\cdot \vec u'=0 \).
 - Normaliza ambos: \( \vec u=\dfrac{\vec u'}{\|\vec u'\|} \) y  \( \vec v=\dfrac{\vec v'}{\|\vec v'\|} \)

4) Entonces una posible parametrización es:

\( (x,y,z)=C+cos(\theta)\vec u+sin(\theta)\vec v,\qquad \theta\in [0,2\pi) \)

Saludos.

P.D. No he leído el documento de Fernando. Quizá alguna idea se intersequé con lo que he expuesto aquí.

Hola el_manco,

(Me cuesta llamarte por tu nombre ahora. :P)

En primer lugar agradecerte por tu ayuda.

Tengo un par de dudas sobre tu mensaje:

1. ¿A lo que llamas 'd' es la distancia del plano al origen de coordenadas?
2. En el paso 3 mencionas que debo hallar dos vectores u y v que cumplan ciertos requisitos. ¿Esos vectores se hallan a pulmón o hay algún "método" para hacerlo? Es probable que sea algo de álgebra lineal que no recuerdo.

Saludos.

23 Septiembre, 2020, 05:52 am
Respuesta #7

Francolino

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Como curiosidad las ecuaciones del tipo al que me refiero en mi mensaje anterior, para la circunferncia \( \begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=4\end{cases} \) quedarían en la forma \( \begin{cases}x=\displaystyle \frac{1}{2}\left( t\mp \sqrt{8-3t^2}\right)-t\\y=\displaystyle \frac{1}{2}\left( -t\pm \sqrt{8-3t^2}\right)\\z=t\end{cases} |t|\le \dfrac {2\sqrt{6}}{3} \), mientras que usando algo más sofisticado quedarían en la forma \( \left \{ \begin{matrix}x=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos t-\sin t\right)\\y=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos t+\sin t\right)\\z=-\dfrac{4}{\sqrt{6}}\cos t\end{matrix}\right.\quad t\in [0,2\pi]. \)

Hola nuevamente Fernando,

De nuevo, gracias por tu mensaje.

Hasta el momento lo venía haciendo de la forma cavernícola que describes al principio, haha. Viendo algunas soluciones de ejercicios vi que presentaban unas parametrizaciones sofisticadas (las que describen el_manco y tú), esta razón me llevó a consultarlo en el foro. ;)

El tema con esto es que no sólo es más sofisticado sino que son más fáciles de integrar, lo cual ahorra tiempo de cuentas.

Saludos.

23 Septiembre, 2020, 10:41 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

1. ¿A lo que llamas 'd' es la distancia del plano al origen de coordenadas?

No. \( d \) es el término independiente que tu has escrito en la ecuación del plano \( ax+by+cz=\color{red}d\color{black} \).

En valor absoluto coincide con la distancia del plano al origen sólo si la ecuación está normalizada, es decir, si \( a^2+b^2+c^2=1 \).

Citar
2. En el paso 3 mencionas que debo hallar dos vectores u y v que cumplan ciertos requisitos. ¿Esos vectores se hallan a pulmón o hay algún "método" para hacerlo? Es probable que sea algo de álgebra lineal que no recuerdo.

Como te indiqué imponiendo la condición de perpendicularidad (producto escalar cero).

El primero cualquier vector cumpliendo: \( (x,y,z)\cdot (a,b,c)=0 \) es decir \( ax+by+cz=0 \). Por ejemplo \( \vec u'=(-b,a,0). \) (siempre que \( a \) y \( b \) no sean simultáneamente nulos).

El segundo cumpliendo además que \( (x,y,z)\cdot \vec u'=0 \). Por ejemplo con la elección de \( \vec u' \) hecha antes:

\( (x,y,z)\cdot (a,b,c)=0 \) es decir \( ax+by+cz=0 \) y
\( (x,y,z)\cdot (-b,a,0)=0 \) es decir \( -bx+ay=0 \)

Una posibilidad sería \( \vec v'=\left(a,b,\dfrac{-a^2-b^2}{c}\right) \) siempre que \( c\neq 0 \).

Saludos.

29 Septiembre, 2020, 04:37 pm
Respuesta #9

Francolino

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Hola

1. ¿A lo que llamas 'd' es la distancia del plano al origen de coordenadas?

No. \( d \) es el término independiente que tu has escrito en la ecuación del plano \( ax+by+cz=\color{red}d\color{black} \).

En valor absoluto coincide con la distancia del plano al origen sólo si la ecuación está normalizada, es decir, si \( a^2+b^2+c^2=1 \).

Citar
2. En el paso 3 mencionas que debo hallar dos vectores u y v que cumplan ciertos requisitos. ¿Esos vectores se hallan a pulmón o hay algún "método" para hacerlo? Es probable que sea algo de álgebra lineal que no recuerdo.

Como te indiqué imponiendo la condición de perpendicularidad (producto escalar cero).

El primero cualquier vector cumpliendo: \( (x,y,z)\cdot (a,b,c)=0 \) es decir \( ax+by+cz=0 \). Por ejemplo \( \vec u'=(-b,a,0). \) (siempre que \( a \) y \( b \) no sean simultáneamente nulos).

El segundo cumpliendo además que \( (x,y,z)\cdot \vec u'=0 \). Por ejemplo con la elección de \( \vec u' \) hecha antes:

\( (x,y,z)\cdot (a,b,c)=0 \) es decir \( ax+by+cz=0 \) y
\( (x,y,z)\cdot (-b,a,0)=0 \) es decir \( -bx+ay=0 \)

Una posibilidad sería \( \vec v'=\left(a,b,\dfrac{-a^2-b^2}{c}\right) \) siempre que \( c\neq 0 \).

Saludos.

Hola el_manco,

Muchas gracias por la respuesta, me ha quedado claro. :) Precisamente a esto me refería con hacer las cuentas a pulmón.

Otra pregunta que tengo es cuánto cambiaría en el razonamiento anterior si en vez de considerar una esfera se considera un elipsoide: \( \{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : \alpha x^2 + \beta y^2 + \gamma z^2 = \delta^2 \} \).

Saludos.