Autor Tema: Localización de un anillo en un conjunto multiplicativo

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19 Septiembre, 2020, 09:58 pm
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FerOliMenNewton

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Hola a todos,
Como bien saben una generalización de lo que es el campo de fracciones de un dominio entero conmutativo con unidad es la localización de un anillo conmutativo con unidad en un conjunto multiplicativo cuyos elementos son regulares(un elemento \( c \) es regular si \( c\cdot{x}\Rightarrow{x=0} \) ), donde (al menos en el libro donde estudio) definen a un conjunto multiplicativo como un subconjunto del anillo que contiene a la unidad y es cerrado bajo la multiplicación. Y bueno para construir a ésta localización que resulta ser un anillo conmutativo, se define la misma relación de equivalencia y las mismas operaciones que para construir el campo de fracciones. De nuevo, no hay ejemplos en el libro, así que me puse a curiosear, y supongamos que me interesara calcular la localización de \( \mathbb{Z} \) con el conjunto multiplicativo y que evidentemente sus elementos son regulares \( \mathbb{N} \). Mi intuición me dice que lo que debo obtener son los racionales(o más bien un conjunto isomorfo a los racionales), esto es así no? Porque por definición la localización es el conjunto de clases de equivalencia  \( \left\{{    [(a,b)] : a\in{\mathbb{Z}}, b\in{\mathbb{N}}                               }\right\} \), el cual es isomorfo a \( \left\{{    \frac{a}{b} :      a\in{\mathbb{Z}}, b\in{\mathbb{N}}               }\right\} \) (y de hecho me parece que el isomorfismo que nos sirve es el mismo que puso geómetracat en mi mensaje pasado), pero este último conjunto es igual a \( \left\{{  (a,b) : a\in{\mathbb{Z}}       , b \in{\mathbb{Z}}-\left\{{0}\right\}                            }\right\} = \mathbb{Q} \), lo he dicho bien o se me ha pasado algo? De antemano muchas gracias.
Saludos.

19 Septiembre, 2020, 11:32 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Sí, está todo bien salvo por un par de cosas: los elementos regulares de \( \Bbb Z \) son \( \Bbb Z - \{0\} \), y lo que quieres decir es que la localización de \( \Bbb Z \) respecto del conjunto multiplicativo de elementos regulares \( \Bbb N - \{0\} \) es isomorfa a \( \Bbb Q \).

De hecho, un resultado general es que la localización de un anillo \( A \) respecto de un conjunto multiplicativo \( S \), \( S^{-1}A \), es isomorfa a la localización respecto del saturado de \( S \), que se define como el conjunto \( S' \) formado por los elementos de \( A \) que dividen a algún elemento de \( S \), es decir
\( S' = \{ a \in A \mid \exists b \in A (ab \in S) \} \).

En tu caso, puedes comprobar que el saturado de \( \Bbb N -\{0\}  \) es \( \Bbb Z - \{0\} \), así que recuperas el resultado.

Por cierto, que la localización la puedes definir respecto de cualquier conjunto multiplicativo, no necesariamente de elementos regulares, pero en ese caso hay que tener más cuidado al definir la relación de equivalencia.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Septiembre, 2020, 08:21 pm
Respuesta #2

FerOliMenNewton

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Hola geómetracat, gracias por tu respuesta.
Y gracias por las correciones :) , aunque en la primera línea quisiste decir que los elementos regulares de \( \mathbb{N} \) son  \( \mathbb{N}-\left\{{0}\right\} \) cierto?
Y por cierto, me parece interesante el resultado que mencionas y la forma de definir la localización respecto de cualquier conjunto multiplicativo, en dónde puedo encontrarlos :)?
Saludos.

20 Septiembre, 2020, 08:48 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Hola geómetracat, gracias por tu respuesta.
Y gracias por las correciones :) , aunque en la primera línea quisiste decir que los elementos regulares de \( \mathbb{N} \) son  \( \mathbb{N}-\left\{{0}\right\} \) cierto?
Mmm, no, quería decir lo que dije. El conjunto de los elementos regulares del anillo \( \Bbb Z \) es \( \Bbb Z - \{0\} \). Pero lo que sí es cierto es que \( \Bbb N - \{0\} \) es un conjunto multiplicativo de elementos regulares de \( \Bbb Z \), así que puedes tomar la localización respecto a ese conjunto.

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Y por cierto, me parece interesante el resultado que mencionas y la forma de definir la localización respecto de cualquier conjunto multiplicativo, en dónde puedo encontrarlos :)?
Saludos.

Pues en cualquier libro de álgebra conmutativa. Por ejemplo, en el Atiyah-Macdonald o en el de Eisenbud está todo esto bien hecho con toda generalidad.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Septiembre, 2020, 01:44 am
Respuesta #4

FerOliMenNewton

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Entiendo, muchísimas gracias por tu ayuda geómetracat! Saludos :) .