Autor Tema: Distancias \(\vert D(x,B) - D(y,B)\vert \leq d(x,y)\)

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19 Septiembre, 2020, 01:25 pm
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moraat

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La distancia \( D(x,B) \) de un punto a un subconjunto no vacío de \( (X,d) \) está definida como : \( D(x,B) = inf_{b \in B} d(x,b) \)
 Pruebe que para cualquier  \( x,y \in X \), \( \vert D(x,B) - D(y,B)\vert \leq d(x,y) \)
Alguna sugerencia con este problema. Gracias

19 Septiembre, 2020, 01:37 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

La distancia \( D(x,B) \) de un punto a un subconjunto no vacío de \( (X,d) \) está definida como : \( D(x,B) = inf_{b \in B} d(x,b) \)
 Pruebe que para cualquier  \( x,y \in X \), \( \vert D(x,B) - D(y,B)\vert \leq d(x,y) \)
Alguna sugerencia con este problema. Gracias

Ten en cuenta que para todo \( b\in B \):

\( D(x,B)\leq d(x,b)\leq d(x,y)+d(y,b) \)

Ahora por definición de ínfimo dado \( \epsilon>0 \) existe \( b\in B \) tal que \( d(y,b)\leq D(y,B)+\epsilon \).

Combinado con lo anterior:

\( D(x,B)\leq d(x,b)\leq d(x,y)+d(y,b)\leq d(x,y)+D(y,B)+\epsilon \) para todo \( \epsilon>0 \)

Se concluye que:

\( D(x,B)-D(y,B)\leq d(x,y) \)

Análogamente:

\( D(y,B)-D(x,B)\leq d(x,y) \)

Saludos.