Autor Tema: Otra prueba de que una función bajo determinadas condiciones tiende un cero

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19 Septiembre, 2020, 09:58 am
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martiniano

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Hola.


Viene de: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114307.msg452620#msg452620


Con ánimo de echar una mano voy a expresar una posible respuesta en la que no se hable de sucesiones y subsucesiones a ver si sirve de algo.

Se trata de  probar:

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que:

 para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{1}{5}\Big|f(x)\Big|} \). (H)

Entonces   \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).



Lo demostraré por reducción al absurdo. Supongamos que el enunciado es falso y que por tanto existe una función \( f(x)  \) que cumple las condiciones del enunciado pero que no se anula en \( [a, b] \). Si \( f(x)  \) es continua en \( [a, b]  \) también lo es \( |f(x) | \) y por el teorema de Weierstrass ésta debe alcanzar su mínimo en \( [a, b]  \). Supongamos que el mínimo se da en \( m\in{[a, b] } \). Como \( f(x)  \) no se anula tampoco lo hace \( |f(x) | \) y deberá ser \( |f(m) |>0 \). Pero por una de las condiciones del enunciado existe \( y \) tal que \( |f(y) |\leq{}\frac{|f(m) |}{5}<|f(m)| \) con lo que el mínimo no estaría en \( x=m \) y eso es absurdo.

No quisiera estar liando la madeja, pero pienso que si a lo mejor Buscón entendiese una demostración después le sería más sencillo entender las otras. De no cumplir este mensaje su cometido puede ser ignorado sin más.

Un saludo.

19 Septiembre, 2020, 10:57 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Si, es otra opción. Es la que había apuntado aquí delmar en el problema análogo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=96785.msg388680#msg388680

 Lo he separado en otro hilo para intentar hacer más clara la discusión de cada enfoque.

Saludos.

19 Septiembre, 2020, 12:59 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola.


 Si, es otra opción. Es la que había apuntado aquí delmar en el problema análogo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=96785.msg388680#msg388680

Cierto. Prácticamente lo mismo. Entre tantas respuestas me había pasado desapercibida la aportación de delmar.

Un saludo.

19 Septiembre, 2020, 02:43 pm
Respuesta #3

Buscón

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Lo demostraré por reducción al absurdo. Supongamos que el enunciado es falso y que por tanto existe una función \( f(x)  \) que cumple las condiciones del enunciado pero que no se anula en \( [a, b] \). Si \( f(x)  \) es continua en \( [a, b]  \) también lo es \( |f(x) | \) y por el teorema de Weierstrass ésta debe alcanzar su mínimo en \( [a, b]  \). Supongamos que el mínimo se da en \( m\in{[a, b] } \). Como \( f(x)  \) no se anula tampoco lo hace \( |f(x) | \) y deberá ser \( |f(m) |>0 \). Pero por una de las condiciones del enunciado existe \( y \) tal que \( |f(y) |\leq{}\frac{|f(m) |}{5}<|f(m)| \) con lo que el mínimo no estaría en \( x=m \) y eso es absurdo.

No quisiera estar liando la madeja, pero pienso que si a lo mejor Buscón entendiese una demostración después le sería más sencillo entender las otras. De no cumplir este mensaje su cometido puede ser ignorado sin más.

Si, lo veo, es mucho más corta y sencilla.

Estoy buscando donde falla el razonamiento que pongo aqui

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102913.msg452126#msg452126

comparándolo con el que pones, y con el que pone delmar aqui

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=96785.msg388680#msg388680

19 Septiembre, 2020, 05:28 pm
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

Ese razonamiento tuyo lo veo bastante bien. Quizás le hubiese añadido algún detalle aclarador que te pongo en rojo o entre líneas. En plan algo así:

Sea    \( y_1\in{[a,b]} \).    Si    \( f(y_1)=0 \)    es trivial que    \( f \)    se anula en algún punto.

Se supone para todo \( y_1\in{[a, b] } \) que \( f(y_1)\neq0 \).

Por hipótesis existe    \( y_2,\in{[a,b]} \)    tal que    \( 5\big|f(y_2)\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)    y aplicando el razonamiento recursivamente se obtiene que para todo \( y_{k-1}\in{[a, b] } \) existe \( y_k\in{[a, b] } \) tal que   \( 5\big|f(y_k)\big|\leq{\big|f(y_{k-1})\big|} \)    para    \( k=2,3... \).

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \) ...

... con lo que \( f(y_k)<{f(y_{k-1})} \) y por tanto...

... la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Se deduce entonces que la función    \( f \)    no puede tomar sólo valores positivos...

... De forma parecida se demuestra que...

... tampoco puede tomar valores sólo negativos porque entonces no alcanza el máximo absoluto.[

Entonces...

Bernard Bolzano asegura que se anula en algún punto...

... como queremos demostrar

Y ya está, ¿no?

Un saludo.

19 Septiembre, 2020, 06:08 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Ese razonamiento tuyo lo veo bastante bien. Quizás le hubiese añadido algún detalle aclarador que te pongo en rojo o entre líneas. En plan algo así:

Sea    \( y_1\in{[a,b]} \).    Si    \( f(y_1)=0 \)    es trivial que    \( f \)    se anula en algún punto.

Se supone para todo \( y_1\in{[a, b] } \) que \( f(y_1)\neq0 \).

Por hipótesis existe    \( y_2,\in{[a,b]} \)    tal que    \( 5\big|f(y_2)\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)    y aplicando el razonamiento recursivamente se obtiene que para todo \( y_{k-1}\in{[a, b] } \) existe \( y_k\in{[a, b] } \) tal que   \( 5\big|f(y_k)\big|\leq{\big|f(y_{k-1})\big|} \)    para    \( k=2,3... \).

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \) ...

... con lo que \( f(y_k)<{f(y_{k-1})} \) y por tanto...

... la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos"[/i].

Se deduce entonces que la función    \( f \)    no puede tomar sólo valores positivos...

¡No, no está bien! La existencia de una sucesión de términos positivos verificando:

 \( f(y_k)<{f(y_{k-1})} \)

NO garantiza que la función no alcance el máximo ó el mínimo.

Por ejemplo la función podría ser \( f(x)=x+1 \), estar definida en \( [0,1] \). La sucesión \( y_n=1/n \) cumple esa propiedad  \( f(y_k)<{f(y_{k-1})} \) y la función alcanza el máximo y el mínimo. No hay contradicción y la función no se anula.

Otra cosa distinta es que se use que  \( f(y_k)\leq \dfrac{1}{5}{f(y_{k-1})} \) con lo cual se asegura que \( \{f(y_n)\}\to 0 \). Pero esto nos acerca al camino que estamos siguiendo en este hilo desde el principio.

Es cierto que uno podría terminar de otra manera a como lo hemos hecho: suponemos que la función es positiva en todo punto; además por el Teorema de Weierstrass, el mínimo se alcanza y por tanto es también estrictamente positivo. Pero eso contradice existencia la sucesión de imágenes convergente a cero.

Saludos.

19 Septiembre, 2020, 06:47 pm
Respuesta #6

martiniano

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Hola.

¡No, no está bien! La existencia de una sucesión de términos positivos verificando:

 \( f(y_k)<{f(y_{k-1})} \)

NO garantiza que la función no alcance el máximo ó el mínimo.

Cierto. El ejemplo que pones lo ilustra. Lo que garantiza que no se alcance el mínimo es esto:

Se supone para todo \( y_1\in{[a, b] } \) que \( f(y_1)\neq0 \).

Por hipótesis existe    \( y_2,\in{[a,b]} \)    tal que    \( 5\big|f(y_2)\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)   
 

... Y por tanto \( |f(y_2)|<|f(y_1)| \).

Y es lo que tú dices... Queda todo muy enrevesado para acabar diciendo lo mismo que se dice en el inicio del hilo...

Saludos.

19 Septiembre, 2020, 06:54 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Cierto. El ejemplo que pones lo ilustra. Lo que garantiza que no se alcance el mínimo es esto:

Se supone para todo \( y_1\in{[a, b] } \) que \( f(y_1)\neq0 \).

Por hipótesis existe    \( y_2,\in{[a,b]} \)    tal que    \( 5\big|f(y_2)\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)   
 

... Y por tanto \( |f(y_2)|<|f(y_1)| \).

Y es lo que tú dices... Queda todo muy enrevesado para acabar diciendo lo mismo que se dice en el inicio del hilo...

Pero claro; si te refieres a que si el mínimo no nulo fuese en \( y_1 \) encontramos otro más pequeño (contradicción) eso nos lleva a tu demostración o la del delmar y nos olvidamos de sucesión alguna.

Saludos.

19 Septiembre, 2020, 07:04 pm
Respuesta #8

martiniano

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Hola.

Sí, claro, claro... Eso mismo quería decir... Al final ha quedado todo muy lioso y no vale la pena dar tantas vueltas...

Es decir, o bien se demuestra que hay una sucesión de imágenes con límite nulo, o bien que una función que no se anule acaba incumpliendo la condición de no tener mínimo. Pero hacer un remix alarga innecesariamente el asunto...


Un saludo.

19 Septiembre, 2020, 08:44 pm
Respuesta #9

Buscón

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Veréis. Creo que todo el follón que se montó es en gran parte debido a lo siguiente:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?

19 Septiembre, 2020, 08:54 pm
Respuesta #10

martiniano

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Hola.

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?

Pues no estoy seguro de haberte entendido bien, pero esa afirmación implica que \( x\neq y \) ya que no puede ser \( |f(x) |\leq{\frac{|f(x) |}{5}} \).

Un saludo.

19 Septiembre, 2020, 08:58 pm
Respuesta #11

Buscón

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Hola.

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?

Pues no estoy seguro de haberte entendido bien, pero esa afirmación implica que \( x\neq y \) ya que no puede ser \( |f(x) |\leq{\frac{|f(x) |}{5}} \).

Un saludo.

Para    \( f(x)=0 \)   si.

Yo desde el principio estoy interpretando    \( x\neq y \).

19 Septiembre, 2020, 09:46 pm
Respuesta #12

martiniano

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Hola.

Para    \( f(x)=0 \)   si.

Yo desde el principio estoy interpretando    \( x\neq y \).

A ver. Claro. Pero es que eso es lo que empezamos suponiendo que no se cumple para llegar luego a una contradicción...

Mira. Perdóname. Pero es que estoy viendo que en el otro hilo han interpretado tu pregunta de otra manera, posiblemente más rigurosa, y no quiero crearte más dificultades... Así que si ves que te aturullas céntrate en el otro hilo.

No sé por qué te ha causado lío suponer \( x\neq y \) porque no veo de qué manera puede afectar eso a no entender la prueba...

Un saludo.


19 Septiembre, 2020, 09:52 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

Para    \( f(x)=0 \)   si.

Yo desde el principio estoy interpretando    \( x\neq y \).

A ver. Claro. Pero es que eso es lo que empezamos suponiendo que no se cumple para llegar luego a una contradicción...

Mira. Perdóname. Pero es que estoy viendo que en el otro hilo han interpretado tu pregunta de otra manera, posiblemente más rigurosa, y no quiero crearte más dificultades... Así que si ves que te aturullas céntrate en el otro hilo.

No sé por qué te ha causado lío suponer \( x\neq y \) porque no veo de qué manera puede afectar eso a no entender la prueba... .

mmmm... si, nos estamos liando. Tal como formula la pregunta Buscón la interpretación correcta es la 1. El pregunta por la interpretación de:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Y NO HAY DUDA. Ahí nada impide que pudiera darse la igualdad de \( x \) e \( y \).

Que luego añadamos supuestos bajo los cuales no pueda darse la igualdad es otra cosa.

Saludos.

19 Septiembre, 2020, 09:57 pm
Respuesta #14

Buscón

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Hola

Para    \( f(x)=0 \)   si.

Yo desde el principio estoy interpretando    \( x\neq y \).

A ver. Claro. Pero es que eso es lo que empezamos suponiendo que no se cumple para llegar luego a una contradicción...

Mira. Perdóname. Pero es que estoy viendo que en el otro hilo han interpretado tu pregunta de otra manera, posiblemente más rigurosa, y no quiero crearte más dificultades... Así que si ves que te aturullas céntrate en el otro hilo.

No sé por qué te ha causado lío suponer \( x\neq y \) porque no veo de qué manera puede afectar eso a no entender la prueba... .

mmmm... si, nos estamos liando. Tal como formula la pregunta Buscón la interpretación correcta es la 1. El pregunta por la interpretación de:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Y NO HAY DUDA. Ahí nada impide que pudiera darse la igualdad de \( x \) e \( y \).

Que luego añadamos supuestos bajo los cuales no pueda darse la igualdad es otra cosa.

Saludos.

Es que si se da la igualdad sobran tres hilos y tropecientas respuestas.  :laugh: :laugh: :laugh:

19 Septiembre, 2020, 10:43 pm
Respuesta #15

martiniano

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Hola.


mmmm... si, nos estamos liando. Tal como formula la pregunta Buscón la interpretación correcta es la 1. El pregunta por la interpretación de:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Y NO HAY DUDA. Ahí nada impide que pudiera darse la igualdad de \( x \) e \( y \).

Que luego añadamos supuestos bajo los cuales no pueda darse la igualdad es otra cosa.

Sí. Desde luego. No hay duda.

Es que pensaba que Buscón preguntaba por si podía considerar en ese punto \( x\neq y \). Y ciertamente, no creo que la demostración se vea afectada por eso.

Sí que es cierto que es una condición más fuerte que la del enunciado a partir de la cual se podría demostrar que la función se anula al menos dos veces.

En fin. Me siento un poco regu porque empecé interviniendo pensando que podía echar una mano y creo que estoy liando la cosa...  ;D

Bueno... Un saludo.

20 Septiembre, 2020, 03:19 pm
Respuesta #16

Luis Fuentes

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Hola

Es que si se da la igualdad sobran tres hilos y tropecientas respuestas.  :laugh: :laugh: :laugh:

Pero que "se puede dar la igualdad" no quiere decir que se "tenga que dar la igualdad". En realidad la cosa es que en el 95% de las formas de resolver el problema es indiferente hacer la distinción de si \( x=y \) o no. Si uno quiere sacar algo en limpio de la pregunta que has hecho la respuesta es la que ya te he dado en otro hilo donde la has hecho: el enunciado no dice nada en contra de que pueda darse o no \( x=y \).

Otra cosa es que si se da tal igualdad uno pueda deducir fácilmente la existencia del punto donde se anula \( f \). Pero eso es otra cuestión distinta de la interpretación correcta del enunciado por la cual preguntabas. Mezclar una cosa con otra es liar la madeja. Tampoco contribuye a la claridad que hagas EXACTAMENTE la misma pregunta en tres hilos distintos.

Saludos.

20 Septiembre, 2020, 03:34 pm
Respuesta #17

Buscón

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Hola

Es que si se da la igualdad sobran tres hilos y tropecientas respuestas.  :laugh: :laugh: :laugh:

Pero que "se puede dar la igualdad" no quiere decir que se "tenga que dar la igualdad". En realidad la cosa es que en el 95% de las formas de resolver el problema es indiferente hacer la distinción de si \( x=y \) o no. Si uno quiere sacar algo en limpio de la pregunta que has hecho la respuesta es la que ya te he dado en otro hilo donde la has hecho: el enunciado no dice nada en contra de que pueda darse o no \( x=y \).

¿Y quien ha dicho que deba darse?

Otra cosa es que si se da tal igualdad uno pueda deducir fácilmente la existencia del punto donde se anula \( f \). Pero eso es otra cuestión distinta de la interpretación correcta del enunciado por la cual preguntabas. Mezclar una cosa con otra es liar la madeja.

Pues la intención es desliarla. Si, ya está asimilado, la interpretación correcta es la 1)

Tampoco contribuye a la claridad que hagas EXACTAMENTE la misma pregunta en tres hilos distintos.

Ni tampoco tres hilos diferentes para un mismo problema. Todavía sigo sin entender que problema hay en que los hilos sean largos.

Saludos.